Discusiones

Probabilidad de eventos simultáneos

Al calcular las probabilidades exactas para “El juego de las carreras” se llega a la fórmula para la probabilidad de eventos simultáneos.

Maestro: Miremos un juego en el que intervienen dos jugadores y un dado de seis lados. El primer jugador se mueve cuando en el dado sale 1 o 2, y el segundo lo hace cuando el dado muestra  3, 4, 5, o 6. El jugador que primero llegue a la meta  gana. La meta  está apenas a dos pasos de la salida. ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada jugador de ganar?  Este problema se asemeja a las muñecas rusas: tiene problemas dentro de los problemas. Una vez que lo resuelvan, verán por qué. La mejor manera de comenzar es encontrar la probabilidad experimental, esto es, jugar el juego muchas veces para saber qué tan a menudo gana cada jugador. Para ahorrar tiempo, ustedes podrían utilizar los resultados obtenidos por varias personas, o usar un computador.  En teoría, ¿con qué  frecuencia  esperan  que cada jugador gane?

Estudiante 1: El primer jugador ganará aproximadamente una tercera parte de los juegos y el segundo  dos terceras partes de todos los juegos.

Estudiante 2: Espere un momento: ¿pero y qué pasa con los dos pasos? Los resultados que vimos cuando practicamos el juego no nos mostró eso.

Maestro: Como pueden ver por los experimentos, el segundo jugador gana más de dos terceras partes de los juegos,  y el primero  menos de una tercera parte. ¿Por qué creen que esto sucede? Investiguemos un poco más las circunstancias en las que el primer jugador gana.  Por ejemplo, el primer jugador puede ganar haciendo dos movimientos en una fila.  ¿Existe alguna otra manera en la cual el jugador uno pueda ganar?  Observemos el evento cuando el primer jugador hace dos movimientos en una fila y gana.  ¿Cuál es la probabilidad de ese evento?  Para responder esa pregunta pensemos en  el dado.  Para que el evento ocurra, en el dado debe salir en la primera jugada un 1 o un 2, y en la segunda nuevamente un 1 o un 2.  Cada vez la probabilidad de sacar 1 o 2 es de 1/3.  Podemos contar los resultados usando una tabla.  El evento: “El primer jugador se mueve dos pasos en la fila” significa que la primera vez el resultado es 1 o 2 (esa probabilidad es 1/3), y 1 o 2 la segunda vez (esa probabilidad es también 1/3).  ¿Cuál es la probabilidad del evento?  Como siempre, utilizamos la fórmula:

PROBABILIDAD DE GANAR = 

Para contabilizar los resultados, podemos usar una tabla que muestre todos los números que pueden salir al lanzar por primera vez el dado y al lanzarlo por segunda vez.

Como pueden ver, el evento: “El primer jugador avanza dos pasos en una fila” incluye 4 resultados de 36, entonces la probabilidad de ese evento es de 4/36 = 1/9.  Nótese que la probabilidad que tiene el primer jugador de dar cada paso es de 1/3, y 1/9 = 1/3 * 1/3.  ¿Es esto una coincidencia?  ¿Por qué?

Maestro: Miremos más ejemplos para investigar esta “coincidencia”. Para separar estos ejemplos de nuestra discusión central, utilizaremos un dado de ocho lados.

Supongamos que lanzamos un dado de ocho lados.  Hay varios eventos que vamos a discutir:

    

Evento A= {cuando lanzamos el dado sacamos 6, 7, u 8}

Evento B= {cuando lanzamos el dado sacamos 2 o 3}

Evento C= {cuando lanzamos el dado sacamos 5}

Evento AA= {lanzamos el dado dos veces y obtenemos  6, 7, u 8 ambas veces}

Evento BB= {lanzamos el dado dos veces y obtenemos  2 o 3 ambas veces}

Evento CC= {lanzamos el dado dos veces y obtenemos 5 ambas veces}

Maestro: ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de estos eventos?

Estudiante 1: El evento A ocurre en tres de ocho ocasiones. P(A)=3/8=.375 o 37.5%.

Estudiante 2: P(B)=2/8=1/4=.25 o 25%

Estudiante 3: P(C)=1/8=.125 o 12.5%

Estudiante 1: ¿Qué sucede con los eventos de dos letras? Usaremos una tabla:


Estudiante: Veamos.  P(A)=3/8, y  P (AA)=9/64=3/8*3/8. ¡Sucede nuevamente!  ¿Por qué?

Maestro: Hay 3 resultados en el Evento A de un total de 8. Cuando lanzamos el dado dos veces (o lanzamos dos dados, que es lo mismo), ¿cuál es el número total de resultados?

Estudiante 1: ¡Ya hablamos de eso antes!  Hay un total de 8*8=64 resultados.

Estudiante 2: Con la misma lógica, el Evento AA tiene 3*3=9 resultados. Lo que obtenemos es 3*3 de 8*8, lo que significa que la probabilidad es:

3*3/8*8 = 3/8 * 3/8.

Maestro: Usemos imágenes, o geometría, para ver este mismo fenómeno. Cuando calculamos  P(A), estamos observando  “unidades de longitud” y vemos 3 unidades de un total de 8, pero cuando calculamos P (AA), estamos observando “unidades de área” y tenemos  9=3*3 unidades de 64=8*8, porque todo lo elevamos al “cuadrado”.

Maestro: Utilicen las tablas para verificar si la misma regla de multiplicación de probabilidades para eventos simultáneos  independientes se aplica para BB y CC. Hagan su propia tabla y coloréenla para así revisar la regla para eventos “mixtos”:

Evento AB = {lanzamos el dado dos veces y obtenemos 6, 7 u 8 la primera vez, y 2 o 3 la segunda vez}

Evento BC = {lanzamos el dado dos veces y obtenemos 2 o 3 la primera vez, y 5 la segunda}

y así sucesivamente.

Maestro: Usamos la palabra “independiente” por una buena razón. Imaginemos por un momento que dos lanzamientos del dado no son independientes: que la segunda vez siempre obtenemos los mismos números que la primera vez. ¿Cuál es la P(AA) (la probabilidad del Evento AA) en este caso? ¿Es diferente a la que calculamos con anterioridad?  ¿Funciona aquí la regla de la multiplicación?

Estudiante: En este caso, P(AA) es lo mismo que P(A).  La regla no funciona.

Maestro: ¿Puede usted expresar la regla en lenguaje matemático?

Estudiante: Si tenemos dos eventos independientes, la probabilidad de que ellos ocurran al mismo tiempo es igual al producto de las probabilidades de cada evento.

También se puede escribir así:

P(A B)=P(A)*P(B)

Maestro: ¿Funcionaría para tres eventos? ¿Cuál es la probabilidad del Evento AAA = {lanzamos el dado tres veces y obtenemos 6, 7 u 8 cada vez}?

Estudiante: Debería  funcionar para cualquier número de eventos.  Entonces: 
P(AAA)=3/8*3/8*3/8

Estudiante 1: Devolvámonos al juego del que estábamos hablando. Ahora veo lo  complejo que es. Por ejemplo, el primer jugador puede ganar, si los jugadores avanzan pasos  en cualquiera de los siguientes casos:

primera-primera

primera-segunda-primera

segunda-primera-primera

Para encontrar la probabilidad de cada uno de estos casos, podemos usar la regla de la multiplicación. ¡Ahora  veo  por qué el problema es como una muñeca rusa!

Estudiante 2: Veamos… El primer jugador se mueve cuando en el dado sale 1 o 2,  así que:

P (el primer jugador da un paso)=1/3, y

P (el segundo jugador da un paso)=2/3.

Ahora

P (primero, primero)=1/3*1/3=1/9

P (primero-segundo-primero)=1/3*2/3*1/3=2/27

P (segundo-primero-primero)=2/3*1/3*1/3=2/27

Estudiante 1: Cualquiera de estos eventos puede ocurrir, así que deberíamos sumar sus posibilidades para encontrar la posibilidad de que el primer jugador gane. ¡Qué problema tan largo!

P (el primer jugador gana)=1/9+2/27+2/27=7/27= .2593 (con cuatro dígitos después del punto), o  25.93%.

Estudiante 2: Esto es menos de 1/3, porque 1/3=.3333.

Maestro: ¿Qué pasa con el segundo jugador? Ustedes pueden encontrar su probabilidad de ganar de la  forma fácil o de la  difícil. ¿Pueden ver las dos maneras?

Estudiante 1: La forma más difícil es calcular las probabilidades de todos los eventos cuando el segundo jugador gana…¡Esto tomará mucho tiempo!  

Estudiante 2: La forma fácil es tomar nota que si el segundo jugador gana, el primer jugador pierde.  Esto es, sus posibilidades de ganar deberían sumar 1 (o el 100%), ¡porque uno de ellos gana!  Así es  que podemos calcular fácilmente:

P (el segundo jugador gana) = 1 - P (el primer jugador gana) = 1 - 7/27 = 20/27 = .7407

o,  expresándolo en porcentajes, 74.07%.

Maestro: ¿Son estas probabilidades las mismas que las probabilidades experimentales que obtuvieron jugando el juego muchas veces?  

Estudiantes: No exactamente las mismas, pero si muy aproximadas.

Maestro: ¿Que sucedería con las probabilidades si en vez de dos, tuviéramos diez pasos? ¿Qué creen que le pasaría a las probabilidades?

Estudiante 1: ¡Yo no quisiera tener que encontrar la respuesta exacta para ese problema!

Maestro: Usted puede utilizar experimentos de computador para encontrar una respuesta estimada.  Si corre el programa muchas veces, la proporción en que cada jugador ganará se aproximará  más y más a la probabilidad de ganar.

Estudiante 2: El primer jugador no ganará  casi nunca.

Maestro: Juéguenlo varias veces y observen qué sucede.

Sigue a Eduteka en Redes:

YouTube Facebook Twitter LinkedIn Instagram Gloogle+