Discusiones

¿Qué son residuos?

Repasa la división de enteros y la aritmética modular

Estudiante: ¿Qué son residuos ?

Maestro: Para saber qué son residuos, necesitamos mirar la división de números enteros. Suponga que tenemos dos números X y Y. Queremos saber cuántas veces X cabe en Y. Si utilizamos la operación de división tradicional, sabremos cuántas veces Y puede ser dividido por X, y este número se llama cociente. Adicionalmente tenemos la posibilidad de que sobre una cantidad adicional, si X no cabe en Y un número exacto de veces. Esta cantidad se llama residuo .

Estudiante: Déjeme ensayar con un ejemplo. Suponga que quiero saber cuántas veces cabe 3 en 14. Yo sé que 3 por 4 es igual a 12 y que 3 por 5 es igual a 15, así que puedo tener 4 veces tres y algo me sobra.

Maestro: Es correcto. 4 es el cociente y lo que sobra, que es 2, es el residuo

Estudiante: Esto está relacionado con fracciones de números mixtos , ¿verdad?

Maestro: Esta es una forma en que podemos escribir la respuesta de este tipo de división. El resultado de dividir 14 por 3 es 4 con un residuo de 2, ó 4 y 2/3 como numero mixto, ó 4.666666667 como un número decimal de 10 dígitos

Ensayemos otro.

Estudiante: ¿Qué tal uno grande como 67 / 4? Permítame usar la calculadora,

67/4 = 16.75

¿Cómo obtengo un residuo de esto? ¿ No digo 0.75, verdad?

Maestro: No, pero usted tiene toda la información necesaria. El 16.75 le permite saber que 4 cabe 16 veces en 67, así que para encontrar el residuo solamente multiplique 4 por 16 y réstelo de 67.

67 - (4 x16)

En este caso el residuo es 3.

Estudiante: Este mismo resultado se podría haber obtenido del 0.75, ya que 0.75 por 4 es 3.

Maestro: ¡Sí! Es una buena observación. Yo prefiero el otro método porque es más exacto, así la calculadora redondee resultados. Ensayemos 67/7. En mi calculadora obtengo: 

¿Cuál es el residuo esta vez?

Estudiante: Ya veo lo que quiere decir. Utilizando mi método puedo obtener

0.571428571 por 7 = 3.999999997

De donde puedo deducir que la respuesta es 4. Con su método obtengo

67 - (9 x 7) = 4 exactos

Maestro: Con cualquiera de los dos métodos se obtiene el residuo correcto, solo que con la calculadora tiene que aproximarse a un número entero. Este proceso de encontrar cocientes y residuos se llama el Algoritmo de Euclides .

Antes de que ensayemos Colorear residuos , necesitamos hablar un poco de residuos. Supongamos que volteo la pregunta: ¿Qué números tienen un residuo de X cuando divido por Y? Ensayemos lo siguiente: ¿Qué números tienen un residuo de 2 cuando divido por 3?

Estudiante:Veamos:

División

Residuo

0/3

cero

1/3

1

2/3

2

3/3

cero

4/3

1

5/3

2

6/3

cero

7/3

1

8/3

2

9/3

cero

¡Qué bueno, veo un patrón! Comenzando con 2, cada tercer numero tiene un residuo de 2

Maestro: ¡Muy bien! Note que eso es verdad para cada residuo posible: 0 (que es lo que denominamos situaciones "sin residuo") y 1 y 2 que se repiten. He aquí una manera de acordarse de esto, la cual los matemáticos denominan como la aritmética modular . Escriba los residuos posibles en un circulo, los cuales serán los números menores al divisor dado, y camine alrededor del circulo contando para encontrar el residuo. Ensaye con un número diferente, digamos 5

Estudiante: Entonces cuando quiero encontrar el residuo de 22 dividido por 5, comienzo en 0 y cuento. Llego al 2 cuando completo 22 movimientos alrededor del círculo.

Maestro: ¿Es este resultado igual al de los otros métodos? 

Estudiante: Así parece: 22/5 es 4.4 y 0.4 por 5 es 2.

Maestro: Esta idea es muy útil en matemáticas avanzadas. Es tan común que se inventó terminología para hacer esta pregunta en forma concisa. Cuando queremos averiguar el residuo que se produce cuando 22 es dividido por 5, preguntamos: ¿Qué es 22 módulo 5?

Ensayemos otra: ¿Qué es 8 módulo 5?

Estudiante: Como me gusta el método del circulo así lo haré. Contando los movimientos me lleva al 3, así que 8 módulo 5 es 3.

Maestro: ¡Muy Bien!

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