Discusiones

Propiedades de identidad

Presenta los conceptos de identidad aditiva e identidad multiplicativa y cómo se usan cuando se resuelven ecuaciones

Mentor: Empecemos con una pregunta fácil: ¿Qué es 4-4?

Estudiante 1: Es cero, ¿cierto? Por qué nos está preguntando algo tan simple, si hemos estado "resolviendo para x" en estos últimos días?

Mentor: Cero es respuesta correcta y mi pregunta realmente se relaciona con lo que hemos estado haciendo. Vean este problema:

 Paso                               Propiedad utilizada                                                           Ecuación 
         
0                       Ninguna                                                                                  2 = x+4

Mentor: ¿Dónde ves 4-4 en este problema?

Estudiante 2: Bueno, para despejar x se necesita restar 4 en cada lado. Eso sería 4-4.

Mentor: ¿Por qué estamos restando 4?

Estudiante 2: Para eliminar el 4 en el lado derecho de la ecuación. y aislar x, como lo hemos venido haciendo.

Mentor: De acuerdo. Vamos a restar 4 de cada lado para mantener el balance, pero ¿cuál fue la respuesta de 4-4 que me diste antes?

Estudiante 1: Cero

Mentor: De acuerdo. En el lado izquierdo tenemos  2 - 4, que es...?

Estudiante 2: Dos negativo.  Entonces se tiene -2 = x

Mentor: Eso es lo que hemos hecho hasta aquí, pero me has dicho varias veces que 4 - 4 es  cero, así que lo voy a escribir.  Entonces

-2 = x + 0

 Paso                               Propiedad utilizada                                                           Ecuación 
         
0                       Ninguna                                                                                  2 = x+4
                                                                                                                                -4        -4
          1                      Inverso aditivo                                                                       -2 =  x+0 

Estudiante 1: Estoy seguro de que la respuesta es -2.  ¿Podemos eliminar ese cero?

Mentor: Si, pero al hacerlo realmente estamos usando una propiedad. Dime, ¿qué es lo que tiene de especial el cero cuando lo sumamos a otros números?

Estudiante 1: Bueno, que representa nada

Mentor: Cierto. ¿Cómo se relaciona esto con la suma?

Estudiante 2: Se puede sumar cero a cualquier número y nada cambia.

Mentor:   Tienes toda la razón.  Cero es un número especial en la adición porque se puede sumar a cualquier número y no le cambia el valor. Se le llama la identidad aditiva. Si usamos la propiedad de que cualquier número más cero es igual al primer valor, tenemos: 

x = -2

 Paso                               Propiedad utilizada                                                           Ecuación 
         
0                       Ninguna                                                                                  2 = x+4
                                                                                                                                -4        -4
          1                      Inverso aditivo                                                                       -2 =  x+0 
                                                                                                                          Identidad aditiva
         2                     Identidad aditiva                                                                      -2= x

Mentor: También hay una identidad multiplicativa. ¿Puede alguno intentar definir una identidad multiplicativa? 

Estudiante 1: Tal vez es algo por lo cual se pueden multiplicar números y obtener esos mismos números. 

Mentor: Es una muy buena definición. La identidad multiplicativa es un número que puede ser multiplicado por un valor dado y el resultado es ese valor dado. ¿Alguno conoce un número con esa propiedad? 

Estudiante 1: No puede ser cero porque 6 * 0 = 0, no  6.

Estudiante 2: Yo creo que es uno, porque  6 * 1 = 6.

Mentor: ¿Todos están de acuerdo en que 1 es la identidad multiplicativa? ¿Puede alguien pensar en un número que cuando lo multiplique por 1 NO regrese el mismo valor?

Estudiante 1: No. No creo que exista tal número.

Mentor: De acuerdo, 1 ies la identidad multiplicativa. Una "identidad" en matemáticas es algo que te da como resultado el mismo valor inicial. Veamos un problema que involucra la identidad multiplicativa. 

      Paso                               Propiedad utilizada                                                           Ecuación 
         
0                       Ninguna                                                                                  -12 = 4x

Mentor: ¿Cómo resolveríamos este problema?

Estudiante 1:  Deberíamos dividir por 4 para que la x quede solo

Mentor: Muy bien ¿Cuál es la respuesta de 4 dividido entre 4?

Estudiante 2: Es 1 sobre 1, que es precisamente 1

Mentor: Muy bien. Entonces ahora tenemos -12 dividido por 4, que es -3, en el lado izquierdo. Y en el lado derecho 1 por x
 

Paso                               Propiedad utilizada                                                           Ecuación 
         
0                       Ninguna                                                                                 -12 = 4x
                                                                                                                                /4        /4
          1                      Inverso multiplicativo                                                              -3 =  1x 

Estudiante 1: Por lo tanto, la respuesta es -3. Pero tenemos que hacer algo con el 1.

Mentor: Exactamente. Si usamos la propiedad de que 1 multiplicado por algo es igual a ése algo, tenemos entonces -3=x

    Paso                               Propiedad utilizada                                                           Ecuación 
         
0                           Ninguna                                                                                 -12 = 4x
                                                                                                                                    /4        /4
          1                      Inverso multiplicativo                                                                 -3 =  1x 
          2                      Identidad multiplicativa                                                               -3 = x

Mentor: Ahora saben cómo utilizar las identidades aditiva y multiplicativa para despejar x en una ecuación. 

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