Discusiones

Probabilidad y geometría

Conduce a la idea de probabilidad desde oportunidades de conteo hasta la medición de proporciones de áreas.

Construir ruletas y hacer experimentos de probabilidad con ellas es algo muy divertido, aún para personas que pueden resolver estos problemas sin ayudas físicas.  Los CDs viejos son muy buenos para esto.


Maestro: En el juego que vamos a estudiar, los jugadores hacen una ruleta y se ponen de acuerdo sobre quién gana cuando sale un color determinado.  Por ejemplo:

El Jugador 1 gana 10 puntos si la ruleta se detiene en amarillo


El Jugador 2 gana 16 puntos si la ruleta se detiene en azul

El Jugador 3 gana 24 puntos si la ruleta se detiene en rojo

¿Es este juego justo?  ¿Cómo  puede uno saber?

¿Qué posibilidades tiene cada jugar de ganar puntos en un juego?

Estudiante 1: Los jugadores 2 y 3 tienen la misma posibilidad de ganar. El jugador 1 tiene el doble de posibilidades.

Estudiante 2: El jugador 1 “es dueño” de la mitad de la ruleta, y los Jugadores 2 y 3 tienen un cuarto de la ruleta cada uno.  Si queremos expresar su probabilidad de ganar en lenguaje matemático podemos escribir:

P (del Jugador 1 de ganar) = 1/2 = .5 o 50% 
P (del Jugador 2 de ganar) = 1/4 = .25 o 25% 
P (del Jugador 3 de ganar) = 1/4 = .25 o 25%

Maestro: Si el juego se lleva a cabo muchas veces, ¿qué jugador esperan que gane más puntos?

Estudiante 1: Yo creo que el Jugador 2 ganará más o menos el mismo número de veces que el Jugador 3, pero el Jugador 3 gana más puntos en cada jugada…Entonces,  creo que el Jugador 3 gana más puntos que el Jugador 2.

Estudiante 2: Utilicemos el “truco del experimento de los 100 juegos” para comparar estos jugadores con el Jugador 1.  En 100 experimentos podemos esperar que:

El Jugador 1 gane 10 puntos la ½ de las 100 veces, o que gane 10*1/2*100 = 500 puntos, en promedio10*1/2*100/100 = 10*1/2 = 5 puntos en cada giro

El Jugador 2 gane 16 puntos  ¼ de las 100 veces, o que gane 16*1/4*100 = 400 puntos, en promedio16*1/4*100/100 = 16*1/4 = 4 puntos por día

El Jugador 3 gane 24 puntos  ¼ de todas las veces, en promedio 24*1/4 = 6 puntos por día.

Estudiante 1: ¡Ahora sí puedo ver que al Jugador 3 es al que le irá mejor de todos!

Maestro: ¿Puede cambiar el número de puntos que obtiene cada jugador para hacer que el juego sea justo?  Si el Jugador 1 obtiene 4 puntos, ¿cuántos puntos deberían obtener los Jugadores 2 y 3 para hacer que el juego fuera justo?  ¿Qué pasa si el Jugador 1 obtiene 20 puntos?  ¿Qué pasa si el Jugador 1 obtiene N puntos?  Este N significa que no sabemos exactamente cuántos puntos obtiene.  Simplemente estamos buscando la conexión entre el número de puntos que obtiene el Jugador 1 y los que obtienen los Jugadores 2 y 3.

Estudiante: Veamos… se espera que los Jugadores 2 y 3 ganen más o menos la mitad de los juegos que el Jugador 1, por lo tanto ellos tienen que obtener el doble de puntos cada vez que ganen.  Esto hace que sea 2*N para cada uno.


Maestro: Veamos una ruleta diferente, más o menos como esta:

Estudiante 1: ¿Cómo medimos ahora las posibilidades de cada jugador?

Estudiante2: Seria muy bueno si pudiéramos medir, en forma exacta, la “tajada” de cada jugador. ¿Cómo se haría?

Maestro: La gente mide cosas comparándolas con unidades estándar. Uno puede decir que una presentación toma 25 minutos, que un árbol mide 12 metros de altura,  o que un perro pesa 23 kilogramos. Podemos usar ciertas unidades para medir la “tajada” de cada jugador, o sector de la ruleta. Antes de comenzar por favor díganme qué cosas son diferentes y cuáles son  iguales en estas tres ruletas:


Estudiante 1: No importa qué ruleta se use para el juego. Las posibilidades de que cualquier color salga son las mismas en las tres ruletas.

Estudiante 2: Los ángulos de cada color son los mismos.

Maestro: Tradicionalmente, la gente mide los ángulos en unas unidades especiales llamadas “grados”, y éstos fueron seleccionadas de tal manera que el siguiente ángulo, fácil de medir, represente 90 grados.  

90 degrees = 90 grados
A este ángulo se le llama ángulo recto.  Un tercio del ángulo recto es 30 grados, y así sucesivamente.  Existe una herramienta útil que se puede usar para medir ángulos.  Se llama transportador.  Tiene unidades para los grados, igual que una regla tiene unidades para los centímetros y las pulgadas.  Se puede medir un ángulo alineando la base del transportador con un lado del ángulo y posicionándolo de tal manera que el centro del transportador esté en el vértice del ángulo:


Estudiante 1: El ángulo total del círculo es de 360 grados, porque hay cuatro  ángulos rectos en su interior:


Estudiante 2: Esto significa que cada jugador tiene tantas posibilidades como grados  tenga su ángulo,  de un total de 360 posibilidades.

Maestro: ¿Que ángulo le dará una posibilidad de ganar de 1/3?

Estudiante: Un tercio de 360 grados,  o sea 120 grados.

Maestro: Pueden hacer algunas ruletas para el juego y buscar las posibilidades exactas que tiene cada jugador de ganar, midiendo los ángulos.  Hagan que el juego sea justo definiendo cuántos puntos gana cada jugador.  Luego jueguen el juego muchas veces y vean si las posibilidades, y los resultados reales de ganar, se aproximan a sus predicciones.  


De la probabilidad a la geometría

Maestro: En el juego anterior de ruleta utilizamos la geometría (medición de ángulos) para encontrar la probabilidad de ganar de cada jugador.  ¿Pueden pensar en otros ejemplos donde podamos medir algo y determinar las posibilidades de que ocurra un evento en particular?

Estudiante 1: Podemos medir el área. Supongamos que dejamos caer algo sobre una superficie y que queremos buscar las posibilidades de que caiga en un lugar específico de esa superficie. 

Estudiante2: Sí, y también por ejemplo ¿cuáles son las posibilidades de que un meteorito que se estrella contra la tierra, caiga en el agua?  Necesitamos saber el área total de la tierra y el área total de los océanos, mares, lagos y ríos para responder la pregunta.

Maestro: ¿Pueden pensar en algún ejemplo usando el volumen?

Estudiante 1: Bueno. Digamos que estamos trabajando en una mina de oro. Tenemos un cargamento de arena mezclada con granitos de oro. ¿Cuáles son las probabilidades de que un grano que  escojamos sea oro? Tendremos que medir el volumen de oro en la arena para encontrar la respuesta.  

Estudiante 2: Para hacer eso, se necesitará extraer todo el oro.  Y una vez hecho, ¿a quién le van a importar las posibilidades?  Ya no estarán mezclados el oro y la arena, y ¡uno no los va a mezclar simplemente para repetir el experimento!

Maestro: ¿Será que al administrador que tiene que decidir si vale la pena clasificar la siguiente carga de arena, le importarán las posibilidades?  Su pregunta nos lleva justamente a plantear el tema sobre cómo la gente puede usar la probabilidad para responder preguntas sobre mediciones geométricas.  Supongamos que usted quiere medir cuánto oro hay en su arena.  Para hacerlo en forma exacta, usted tendrá que extraer todo el oro.  ¿Qué pasa si no vale la pena?  ¿Qué haría?

Estudiante: Sacaría algunos baldes llenos de arena y encontraría cuánto oro hay en ellos. Si un tercio de la arena en los baldes es oro, entonces cerca de un tercio de toda la arena también es oro.

Maestro: Así que usted escogería al azar una cantidad determinada de arena y buscaría la probabilidad de encontrar oro en ella.  Miremos a ver si la probabilidad nos puede ayudar a medir los ángulos en las ruletas.  Si usted no tiene un transportador, ¿cómo puede utilizar la probabilidad para estimar los ángulos amarillo, azul y rojo en la ruleta?

 

Estudiante: Puedo hacer girar la ruleta muchas veces y registrar en qué color se detiene cada vez. Si se detiene en el amarillo un 65% de las veces, entonces el ángulo amarillo es aproximadamente un 65% del círculo, o 360*.65=234 grados.

Maestro: ¿Será esta una medición exacta o un estimativo?

Estudiante: Un estimativo

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