Discusiones

Probabilidad y resultado

Introducción y discusión inicial del concepto de probabilidad.

Maestro: Observemos a varias personas que estén jugando un juego sencillo de azar. El Jugador 1 lanza un dado de 6 lados y  gana si sale un 2 o un 3; pierde con cualquier otro número. El Jugador 2 lanza  un dado de 4 lados y gana si sale un 1. ¿Qué posibilidades tiene de ganar cada jugador?  

Estudiante: Podemos afirmar que el Jugador 1 gana en dos de seis posibles situaciones.

Maestro: Los científicos también se refieren a resultados en vez de “posibles situaciones”.

Cada resultado es una descripción completa de una situación que puede ocurrir como consecuencia de un experimento (solamente los datos más relevantes).  En nuestro juego, el número que aparece en el dado es lo único que nos interesa: no nos importa cuánto tiempo rueda el dado, qué tan lejos cae de cada jugador, etc.  ¿Qué jugador tiene una mayor posibilidad de ganar y por qué?

Estudiante: El Jugador 1 ganará más a menudo porque gana en dos oportunidades y el Jugador 2 solamente en una.

Maestro: ¿Eso cree? Permítame presentarle al Jugador 3, que utilizará una rueda con números del 1 al 100. El ganará si la rueda se detiene en  los números 96, 97, 98, 99 o 100. Ahora dígame, de los tres jugadores, ¿quién ganará con más frecuencia y por qué?

Estudiante: El Jugador 3 gana en 5 oportunidades.  Y esta posibilidad es mayor que la de los otros dos jugadores, pero aquí hay 100 oportunidades….¡El número de oportunidades no es suficiente!  

Maestro: Pensemos ahora en un problema diferente. Esto nos ayudará a ver algunas cosas.

Supongamos que nuevamente tenemos tres jugadores, solamente que ahora jugarán un juego diferente. Cada uno de ellos tiene una caja rectangular con el mismo largo y ancho, una bola y un mono. Cada mono lanza, de cualquier manera,  una bola a cada una de las cajas de los jugadores, y ésta cae al azar en cualquier lugar de la caja. Los fondos de las cajas están divididos en partes iguales por líneas delgadas.  Las partes están coloreadas de colores claros y oscuros, tal como se muestra en la figura. La caja del Jugador 1 está dividida en 6 partes, 2 oscuras y 4 claras. La del jugador 2 está dividida en 4 partes, una de las cuales es oscura. La del Jugador 3 está dividida en 100 partes, de las cuales 5 son oscuras. Si la bola cae en la parte oscura de la caja, el jugador gana. ¿Qué jugador tiene más posibilidades de ganar?


Estudiante: Si las cajas son del mismo largo y ancho, entonces el Jugador 1 tiene más posibilidades de ganar,  porque la parte ganadora es la más grande.

Maestro: ¿Qué relación tiene este juego con el primero?

Estudiante: Nuevamente el Jugador 1 gana en 2 de 6 resultados, y el Jugador 2 en 1 de 4.

Pero en el segundo juego cada resultado del Jugador 1 parece más pequeño que el  del Jugador 2, y los del Jugador 3  son aún más  pequeños. ¡Son diminutos!  En el primer juego no sabemos qué tan “grandes” son los resultados.  ¿O será que si lo sabemos?

Maestro: Esa es una buena pregunta. Pensemos en todos los posibles resultados del Jugador 1 en el primer juego, es decir, en los números 1, 2, 3, 4, 5, o 6 del dado de seis caras. Ahora pensemos en los resultados del Jugador 2, es decir,  en los números 1, 2, 3, o 4 del dado de 4 caras. Y para el Jugador 3 tenemos todos los números del 1 al 100 en la rueda. Si cada jugador ganara, sin importar el número que  sale en su dado o en la rueda,   todos ganarían un igual número de veces: ¡siempre! Esto nos dice que en conjunto todos los posibles resultados de cada jugador (como por ejemplo, de los números 1 al 100 del Jugador 3) cuentan con la  misma cantidad de  “suerte” que todos los posibles resultados de cualquier otro jugador: toda la suerte que uno puede tener es del 100%,  y no de una fracción de ella.

Estudiante: ¡Así que tiene sentido mirar “al gran total” como a una caja de dimensiones iguales para cada jugador, pero con un número diferente de “compartimentos”! No importa cómo el jugador elija los números, el sentido es el mismo. Ahora puedo ver cómo 5 posibilidades de ganar para el Jugador 3, son mucho menos que una posibilidad de ganar del Jugador 2.

Maestro: Podemos dibujar imágenes para comparar las posibilidades. Sin embargo, esto es un proceso aburrido. Las imágenes no nos dan más información que los números, solamente nos ayudan a que ésta tenga sentido.  Existe la manera de que los números tengan sentido sin las imágenes. Para lograr esto podemos expresar las posibilidades, o sea la probabilidad,  de que cada jugador gane, de diferentes maneras. En vez de decir "El primer jugador gana en dos de los seis resultados" podemos decir: "El primer jugador gana en dos sextas partes de los resultados (o en un tercio, que es lo mismo)”. O "la probabilidad de que el primer jugador gane es de  1/3". Y,  por lo tanto como 1/3=0.33 (redondeando a dos dígitos después del punto decimal), podemos decir que: “La probabilidad de que el primer jugador gane es de 0.33”,  Si observa nuevamente la imagen, se puede ver que el área oscura para el Jugador 1 es efectivamente un tercio del total:

Estudiante: Entonces la probabilidad que tiene el Jugador 2 de ganar es de 0.25.

Maestro: Hay todavía otra manera de expresar las probabilidades: Si algo siempre sucede,  quiere decir que ocurre el 100% de las veces. Y si algo sucede la mitad de las veces, ocurre en  1/2 del 100% de las veces, o en 1/2*100%=50% de las veces. Y si algo sucede en un 1/3 de todas las veces (que es la probabilidad de ganar del Jugador 1) podemos decir: "La probabilidad de que el primer jugador gane es de 1/3 del 100%, o 1/3*100%=33.33%” redondeado a dos dígitos después del punto”.

Estudiante: Entonces la probabilidad de que el Jugador 3 gane es del 5%.

Maestro: Hagamos ahora un experimento. Asumamos que usted es el Jugador 1. Juegue el juego muchas veces (100-200) usando el dado o un computador y registre las veces que gana  (es decir, las veces que saca un 2 o un 3). Después de cada juego, registre la relación acumulada de aciertos, llamada probabilidad experimental, expresada en fracciones y decimales. Es aconsejable tener una tabla donde registre el número total de lanzamientos y el número total de juegos ganados.

Probabilidad experimental de ganar=


                                                          
Probabilidad Experimental de ganar (en porcentajes)= 

Estudiante: Al principio, las relaciones cambian mucho con cada nuevo juego. Después de muchos juegos cambian mucho menos. Utilicé un computador para simular 1000 juegos, y las relaciones permanecieron prácticamente iguales con cada juego.  Tendían a .33 o 33%.

Maestro: ¿Por qué cree que la probabilidad experimental se acerca a la probabilidad teórica?

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