Discusiones

Infinito e iteraciones

Explica los conceptos de infinito, iteraciones y límites con referencia a fractales y sucesiones.

Estudiante: En las actividades de La tortuga y la liebre , El peine de Cantor y La curva de Hilbert , algunas veces se nos pide repetir un patrón "indefinidamente". ¿Qué significa esto?

Maestro: Esta es una idea importante de las matemáticas, pero no es muy precisa cuando se dice "un numero infinito de veces" ó "indefinidamente". Tratemos de aclarar esto. Primero veamos una palabra nueva: Repetir un conjunto de reglas o pasos, una y otra vez, se denomina iteración. Cada paso o etapa es una iteración.

Estudiante: ¿Entonces cuando practicamos con La carrera de la tortuga y la liebre, cada vez que presionábamos el botón de adelantar estábamos haciendo una iteración? ¿Lo mismo sucedió en el caso de La curva de Hilbert?

Maestro: Sí. En cada caso, ¿cuándo se detuvo?

Estudiante: En la tortuga y la liebre cuando el computador no me permitió seguir, creo que fue en el paso 15. La tortuga siempre iba adelante, pero no había llegado todavía a la meta final. En La Curva de Hilbert me detuve cuando el computador se congeló, creo que ocurrió en la séptima oportunidad.

Maestro: Desafortunadamente para nuestros propósitos, la memoria de un computador es finita y solo permitirá repetir el ejercicio un número limitado de veces. ¿Pudo repetir los ejercicios un número suficiente de veces como para visualizar lo que hubiera pasado si hubiera repetido el experimento muchas más veces?

Estudiante: Sí.

Maestro: Entonces si el computador se lo permitiera, habría podido seguir presionando el botón-iterando-por siempre, suponiendo que pudiera vivir para siempre para poder hacerlo. Esto es lo que denominamos "un número infinito de veces"

Estudiante: Aún no tengo esto muy claro.

Maestro: Tiene razón. Arreglemos esto también. Necesitamos otra definición. Infinito significa mayor que cualquier número dado de antemano. Aquí hay uno muy grande:

1,000,000,000,000,000,000,000,000,000

¿Puede encontrar uno más grande? 

Estudiante: Es fácil. Simplemente añada uno:

1,000,000,000,000,000,000,000,000,001

Maestro: ¡Muy bien! Cada vez que le dé un número de los utilizados para contar, los matemáticos los denominan Números Naturales , usted puede encontrar un número mayor al que yo le di. Esto es parte de la idea de infinito. Por eso cuando decimos "un número infinito de veces", queremos decir más que cualquier número natural. Hay otras partes más difíciles de entender; y en efecto, tomó miles de años llegar a una idea correcta de Infinito .

Los antiguos Griegos rechazaron la idea de que existieran conjuntos con un número infinito de elementos, como el conjunto de Números Naturales. El Infinito era visto como un concepto imposible. La humanidad luchó con esta idea por siglos. En los albores del siglo XX con el trabajo de George Cantor, quien desarrolló el Peine de Cantor, la idea pudo ser bien explicada. Veamos algunos hechos interesantes sobre el Infinito: 

  • Cosas que funcionan para conjuntos finitos pueden no funcionar para conjuntos infinitos.
  • Una cantidad infinita no siempre ocupa un espacio infinito. Pensemos en la Curva de Hilbert, que es infinitamente larga, pero que cabe en un cuadrado.
  • La suma de una cantidad infinita de números, puede ser finita. Piense en la carrera de la tortuga y la liebre. La tortuga camina las siguientes distancias, una fracción en cada paso del tiempo:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + .......

¡Pero nunca llega al final de la carrera! Por lo tanto, la suma nunca pasará de 1! 

El cálculo matemático trata con sumas infinitas y resuelve este tipo de problemas. El concepto matemático involucrado se conoce como el concepto de "límite"

Estudiante: Entonces ¿puedo pensar que el infinito es mayor que cualquier número? ¿Y que iterar infinitas veces equivale a repetir pasos o etapas para siempre?


Maestro: Por ahora, esa es una buena manera de pensar. La siguiente es una forma estándar de decir "repita un número infinito de veces"

Hagamos que el número de iteraciones se haga infinito.

Ahora puede contarle a sus padres que ha aprendido hoy algo sobre los fundamentos del cálculo.

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