Discusiones

Tablas y combinatorias

Discusión sobre las tablas como una forma adecuada para guardar y contar resultados.

Maestro: Un jugador gana si uno de sus números se obtiene de la suma de los dos dados. El Jugador 1 gana si la suma es 4, el Jugador 2 si la suma es 5, el Jugador 3 si la suma es 6. ¿Es este un juego justo?

Estudiante 1:  lo es puesto que cada jugador tiene asignado un número ganador.

Estudiante 2: ¡Espere un momento! Existen varias maneras en las cuales la suma de los dos números puede aparecer en los dados.  Por ejemplo, la suma de 4 puede obtenerse de tres maneras diferentes:

Estudiante 3: De alguna manera debemos hacer esta cuenta para los tres casos.

Maestro: Correcto, no queremos dejar de contar ningún resultado posible. Hagamos una lista de todos ellos. El primer número que escribamos es el resultado del primer dado y el segundo número representa el segundo dado. Es más rápido escribir solamente los números, que dibujar los dados.  Primero escribiremos todos los pares de números que comienzan con un 1, luego todas los que comienzan con un 2, y así sucesivamente.  

1-1 
1-2 
1-3 
1-4 
1-5 
1-6

2-1 
2-2 
2-3 
2-4 
2-5 
2-6

3-1 
3-2 
3-3 
3-4 
3-5 
3-6

4-1 
4-2 
4-3 
4-4 
4-5 
4-6

5-1 
5-2 
5-3 
5-4 
5-5 
5-6

6-1 
6-2 
6-3 
6-4 
6-5 
6-6

Maestro: Ahora tenemos un listado completo de los resultados. ¿Nos ayuda esto para decidir cual de los jugadores tiene una mayor posibilidad de ganar?

Estudiante 1: En realidad, no. Tenemos que estudiar todo el listado para encontrar los pares que sumados den el número ganador. Además, ¡fue muy aburrido escribir todos esos números!

Estudiante 2: Acabo de encontrar dos errores en el listado.

Maestro: Parece que no nos podemos confiar mucho de este sistema, además de no ser muy divertido. Podemos explotar la estructura del problema, transformando el listado en forma de tabla, siendo esto más rápido, elegante y claro.

Maestro: Encontrar la forma de transformar listados de datos en tablas o árboles debería ser difícil solamente en los primeros dos intentos.  Cuando se sabe cómo hacerlo, será muy fácil  proceder directamente. Podemos colocar cualquier información adicional en una tabla que esté vacía. Pero por ahora  necesitamos saber  la suma de los números en los dados, para identificar al ganador. ¿Puede  hacerlo?

Estudiante: Con mucho gusto.

Maestro: Ahora es  fácil responder preguntas sobre el juego.  ¿Es éste justo?

Estudiante: No. El Jugador 1 gana con tres resultados, el Jugador 2 con 4 y el Jugador 3 con 5 resultados, de un total de 36. El Jugador 3 ganará más frecuentemente si juegan bastante tiempo.

Maestro: ¿Cómo obtuvo el 36?

Estudiante: Bueno, pues tenemos una tabla de seis por seis, entonces hay 6 x 6=36 resultados diferentes.

Maestro: La ciencia que estudia los números de diferentes combinaciones se llama combinatoria, y en ella se encuentra problemas muy interesantes. Algunos de ellos los veremos en estas unidades de probabilidad. ¿Cuántos resultados diferentes habría si en vez de dos dados tuviéramos dos monedas?

Estudiante: Veamos, existen dos posibilidades con la primera moneda, cara o sello, y dos posibilidades para la segunda moneda. Eso nos da 2 x 2=4 resultados, los cuales  podemos escribir en una tabla de 2 x 2

Maestro: Usted puede ver cómo se construye la tabla. Ahora, ¿qué pasaría si tuviéramos una moneda y un dado de seis lados? (12) ¿Si tuviéramos un dado de diez lados y otro de ocho lados? (80)  ¿Si tuviéramos dos ruletas con números del 1 al N y del 1 al M? (N x M)  Seguramente ya descubrió la regla: ¡debemos multiplicar!  Esta es una regla muy famosa:

Si usted puede escoger dos cosas, y existen M posibilidades para la primera y N posibilidades para la segunda, usted puede tener M x N combinaciones diferentes.  

Maestro: ¿Puede darme algunos ejemplos de esta regla en la vida real?

Estudiante 1: Digamos que si usted quiere escoger entre un carro deportivo, un furgón y un camión, y que los hay de cuatro colores diferentes, entonces usted tendrá 12 combinaciones posibles.

Estudiante 2: Aquí también se puede utilizar una tabla, que la entendería hasta un niño.

Estudiante 3: Usamos la misma forma para escribir una tabla de multiplicar. Veamos una hasta el número 6:

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