Discusiones

De gráficos a máquinas de funciones y viceversa

Demuestra las conexiones iniciales entre funciones y gráficos.

Maestro: Tengo una máquina de función, sin  formula ni  descripción. Hay algo adicional en ella que se supone me dirá cómo funciona la máquina. Parece como una recta en una cuadrícula. Si usted me dice un número para poner en la máquina, yo usaré esta recta como mi máquina de función para ver qué resultado obtenemos.

Estudiante: Entonces utilice 3 como entrada.

Maestro: Con gusto. Simplemente cuento tres pasos a la derecha, a partir de cero. Luego me desplazo  verticalmente (hacia arriba o hacia abajo) hasta encontrar la recta, y cuento los pasos que dí. En este caso subo: uno, dos, tres, cuatro pasos. ¡4 es el resultado que nos da esta función,  al entrar el número 3! 

Estudiante 1: ¿Puedo ensayar? Quiero entrar 1 en la máquina de función. Comienzo en cero, doy un paso a la derecha, luego subo y cuento los pasos: Uno, dos.  Entonces al entrar 1 la función da como resultado 2.

Estudiante 2:   ¿Alguna vez se va a la izquierda de cero?

Maestro: Por supuesto. Los números a la izquierda de cero se llaman números negativos. Ponemos un signo  menos delante de un número para indicar que está a la izquierda de cero, o sea que es negativo. Así mismo usamos el signo menos cuando vamos hacia “abajo”. ¿Quién quiere ensayar la máquina con números negativos?

Estudiante: Quiero entrar -5 en la máquina. Recorro 5 pasos hacia la izquierda desde cero, luego subo...no espere, debo ir  hacia abajo de la recta: Uno, dos, tres, cuatro pasos.

Maestro:   Entonces la función produce -4 cuando el número de entrada es -5.

Estudiante: ¡Ya se qué es exactamente lo que  hace la maquina!   Suma 1 al número de entrada.

Maestro: ¡La recta le dijo eso!  Esta recta,  llamada  gráfico, simplemente es otra forma de explicar lo que hace la función.  ¿Le gustaría ensayar otra “recta como máquina de instrucción”?

Estudiante:   ¡Sí, claro!

Maestro: Comencemos por fórmulas  y construyamos gráficos a partir de ellas. Para fórmulas muy sencillas, los computadores pueden hacer gráficos muy bien, pero es probable que usted quiera saber cómo hacerlos manualmente. No tiene que aprender a hacerlo tan rápido como el computador, pero la idea general le ayudará a entender otros conceptos, como algunos temas de estadística y cálculo.

Yo quisiera tener una función que me de el área de un cuadrado, Y si conozco el largo del lado X,    ¿cómo están conectadas X y Y?

Estudiante 1:   El área es el largo del lado al cuadrado.

Estudiante 2: Si, es X  veces su propio valor.

Maestro:   ¿Quién me indica cómo escribir esta fórmula?

Estudiante:  "Y es al cuadrado " que se escribe como Y=X2

Maestro: Ahora podemos convertir la fórmula en un gráfico. También usaremos números negativos. Claro está que un cuadrado con lados de longitud negativa no existe.  Pero si simplemente tenemos en cuenta la fórmula, podemos usar todos los números reales.  Podemos empezar graficando solamente algunos puntos, para ver si existe un patrón en el plano.  Escogemos cualquier número para X, encontramos el valor de Y, y luego vamos desde 0, “desplazándonos” X unidades hacia la izquierda o la derecha, y luego Y unidades hacia arriba o hacia abajo.  ¡Veamos algunos números! 

Estudiante 1:  Podemos escribir las X que seleccionemos y las Y que resultan de la fórmula así:

X

Y

2

4

-1

1

3

9

...

...

Estudiante 2: Yo graficaré los pares en el plano de coordenadas. El primero es 2 y 4.  Empezamos desde 0, damos 2 pasos hacia la derecha, 4 hacia arriba, y aquí está el punto.  Y  hacemos lo mismo con más puntos.

Maestro: Necesitamos marcar suficientes puntos en el plano para identificar  un patrón y ver qué pasa entre estos puntos. 

Estudiante:   ¡Esto toma mucho tiempo!  Aquí están algunos de los puntos:

Maestro: Si dibujamos un gráfico punto por punto, lo podemos utilizar para predecir los valores de Y dados unos   valores de X.  Esto debería funcionar tan bien como una fórmula.

Estudiante: Veamos.  Supongamos que quiero encontrar el valor de Y,  para un valor de X=2.5. Me desplazo 2.5 unidades a la derecha y luego subo..... Lo que me da un poco más de 6.

Maestro:   ¿Qué  valor le da la fórmula  para Y?

Estudiante:  2.52 = 6.25  Que es el valor que  muestra el gráfico.

Maestro: Hay dos maneras de hacer esta operación más rápido. Una forma es aprendiendo reglas generales que le ayudarán a graficar  funciones usando solamente unos pocos puntos críticos y aprendiendo un poco acerca del comportamiento de las funciones.  El álgebra avanzada y el cálculo estudian estos métodos.  Otra forma es utilizar los computadores o las calculadoras para hacer el trabajo aburrido de encontrar  coordenadas, graficar puntos, y luego contarlos.  Hagamos otros cuantos gráficos de funciones.

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