Discusiones

Prisioneros y fugitivos -Los conjuntos de Julia

Define la noción de prisioneros y fugitivos como pertenecientes a funciones iterativas. Finalmente un prisionero se convierte en una constante, en tanto que los fugitivos iteran hacia el infinito.

Estudiante: Entonces el Conjunto de Mandelbrot está compuesto por Conjuntos de Julia, que son conjuntos de prisioneros.  ¿Qué es un prisionero?

Maestro: Esa es una versión simplificada, pero tiene todas las ideas principales. Hablemos de Prisioneros y Fugitivos, así como de Gaston Julia y de Pierre Fatou.

Después de la Primera Guerra Mundial, Julia y Fatou se interesaron en iterar ecuaciones de  dos variables (o de variable compleja) usando recurrencia. Ellos tomaban una ecuación y la iteraban utilizando diferentes puntos de partida. Los matemáticos llaman sistema dinámico  a este tipo de problema. Concluyeron que al usar diferentes puntos de partida se observan diferentes comportamientos.  Veamos el caso más sencillo e interesante: 

f(Z) = Z2 + C

Donde C es cualquier punto (número complejo) dentro de un círculo de radio 2. Solo nos interesan esos puntos, porque allí es donde eventualmente  estaremos buscando el conjunto de Mandelbrot.

Ensayemos esto: Hagamos C = (0,0) y empecemos  con el punto (0,1).   ¿Qué pasa?

Estudiante:   Veamos:

Z = (0,1)

f(0,1) = (0,1)2 + (0,0) = (-1,0) + (0,0) = (-1,0)

Z = (-1,0)

f(-1,0) = (-1,0)2+ (0,0) = (1,0) + (0,0) = (1,0)

Z = (0,1)

f(0,1) = (0,1)2+ (0,0) = (-1,0) + (0,0) = (-1,0)

Z = (-1,0)

f(-1,0) = (-1,0)2 + (0,0) = (1,0) + (0,0) = (1,0)

 

No necesito avanzar más;  ¡esto salta hacia atrás y hacia adelante!

Maestro: Es correcto.  Ensayemos otro punto de partida, el punto  (1,1)  y mantengamos el mismo valor de C, C = (0,0).

Estudiante: Veamos,

Z = (1,1)

f(1,1) = (1,1)2 + (0,0) = (0,2) + (0,0) = (0,2)

Z = (0,2)

f(0,2) = (0,2)2 + (0,0) = (-4,0) + (0,0) = (-4,0)

Z = (-4,0)

f(-4,0) = (-4,0)2 + (0,0) = (16,0) + (0,0) = (16,0)

Z = (16,0)

f(16,0) = (16,0)2 + (0,0) = (256,0) + (0,0) = (256,0)

Z = (256,0)

f(256,0) = (256,0)2 + (0,0) = (65536,0) + (0,0) = (65536,0)

No necesito avanzar más; el primer número aumentará con cada iteración. 

Maestro: Bien. En realidad las matemáticas nos dicen que cuando el punto se sale del círculo de radio 2 debe “escapar”.  Entonces, usted no tenía que haber avanzado tanto para llegar a esa conclusión.

Ahora ensayemos otro punto de partida: (1/2,1/2)

Estudiante: Veamos;

Z = (1/2,1/2)

f(1/2,1/2) = (1/2,1/2)2 + (0,0) = (0,1/2) + (0,0) = (0,1/2)

Z = (0,1/2)

f(0,1/2) = (0,1/2)2+ (0,0) = (-1/4,0) + (0,0) = (-1/4,0)

Z = (-1/4,0)

f(-1/4,0) = (-1/4,0)2+ (0,0) = (1/16,0) + (0,0) = (1/16,0)

Z = (1/16,0)

f(1/16,0) = (1/16,0)2 + (0,0) = (1/256,0) + (0,0) = (1/256,0)

Z = (1/256,0)

f(1/256,0) = (1/256,0)2 + (0,0) = (1/65536,0) + (0,0) = (1/65536,0)

No necesito avanzar más; el primer número simplemente se acercará más a cero con cada iteración.

Maestro: ¡Es correcto! Ya tiene las ideas necesarias para entender esto de  fugitivos y prisioneros. Estos fueron los tres comportamientos que Julia y Fatou observaron, cualesquiera fueran las  funciones  de la forma  Z2 + C.

Las iteraciones pueden:

  • Acercarse más y más a cero--decimos que tienden  a 0. Estos son los prisioneros.

  • Volverse más y más grande--decimos que  tienden a infinito. Estos son los fugitivos.

  • Quedar atrapados--estos puntos están en el limite entre los prisioneros y los fugitivos. El conjunto de todos estos puntos se llama el Conjunto de Julia de la función.

Estudiante: Entonces para la función f (Z) = Z2 + (0,0) el punto (1,1) es un fugitivo, el punto (1/2,1/2) es un prisionero y ¿el punto (0,1) está en medio?

Maestro: ¡Si! Resulta que para la función f(Z) = Z2 + (0,0), el Conjunto de Julia es el círculo de radio 1 centrado en (0,0). Cualquier punto en el interior del círculo es un prisionero, cada puntos fuera del círculo es un fugitivo, y los puntos sobre la circunferencia no son ninguno de los dos. 

Estudiante:   ¿No será que esto es una forma de fractal?


Maestro: Tiene razón.  ¡PERO! Tome un C distinto de (0,0) y verá que obtiene unos Conjuntos de Julia bien raros. Ensaye a iterar algunas funciones  f (Z) = Z2 + C usando el Iterador de funciones de 2 variables y después observe algunos Conjuntos de Julia usando el Generador de Conjuntos de Julia. En el generador de Conjuntos de Julia,  el conjunto  negro es el conjunto de prisioneros y los colores alrededor de los prisioneros son los fugitivos. Los colores se han seleccionado dependiendo de qué tantas iteraciones le tomó al punto de partida para salir del círculo de radio 2 – lo cual garantiza su fuga.

Algunos de los más famosos conjuntos de Julia se obtienen con:

  • C = (-1,0)

  • C = (0,-1) – la dendrita 

  • C = (1/2, 0)

  • C = (-0.1, 0.8) – el conejo

  • C = (0.36,0 .1) – el dragón

Un último comentario: ¡Los Conjuntos de Julia son caóticos y a la vez fractales!  Las iteraciones para los puntos en el conjunto de Julia (el límite entre prisioneros y fugitivos) se dispersan en formas muy irregulares y si cambiamos a un punto cercano en el mismo Conjunto de Julia, su comportamiento puede ser completamente diferente. Recuerde que eso es exactamente el caos: pequeños cambios en el punto de partida, producen grandes cambios en los resultados. ¡Nuevamente vemos cómo algo caótico termina teniendo un patrón general predecible!

Sigue a Eduteka en Redes:

YouTube Facebook Twitter LinkedIn Instagram Gloogle+