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Simetría en los mosaicos

Define la simetría y demuestra diferentes tipos de simetría de planos.

Estudiante: En la actividad  Mosaicos se repite la misma figura una y otra vez para lograr un patrón.  ¿No es esto un tipo de simetría?

Maestro: Sí, existen muchos tipos de simetrías en los mosaicos. Sin embargo, debe ser cuidadoso para no confundir la simetría lineal con la simetría que se encuentra en el plano de un mosaico.   ¿Dígame qué significa simétrico?

Estudiante: Pienso que una figura es simétrica cuando una recta puede dividirla en dos mitades congruentes. Una mariposa en un buen ejemplo. Si yo trazo una recta por la mitad del cuerpo de la mariposa, cada mitad es idéntica a la otra, como la reflexión de un espejo.

Maestro: Es correcto. Lo que usted describe se llama simetría lineal y ésta es solo una de los varios tipos de simetría que existen. Una definición más precisa de simetría lineal es aquella donde usted dibuja un eje de simetría y cada punto de un lado tiene su punto correspondiente en el otro lado del eje. Si usted conecta los dos puntos, esa  recta es perpendicular   al eje de simetría.

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Cuando hablamos de las simetrías encontradas en un plano infinito, nos referimos a como simetrías planas o trasformaciones geométricas.


¿Qué tal este mosaico?   ¿Piensa que tiene simetría?

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Estudiante: Bueno, diría que de acuerdo a mi definición anterior, no tiene simetría porque no hay dónde trazar una recta de tal manera  que el patrón se refleje sobre sí mismo. Pero usted mencionó algo acerca de otros tipos de simetría;  entonces, ahora creo que la respuesta es afirmativa.

Maestro: Su intuición es correcta. Existen otros tres tipos de simetría en un plano. Todas mueven un patrón o diseño en forma tal que el patrón coincide con el patrón original. ¿Qué otro movimiento podemos hacerle a este patrón para que su apariencia no cambie?


Estudiante: Podríamos deslizar el patrón lateralmente.


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Maestro: ¡Correcto! Este tipo de simetría se llama traslación. Todas las traslaciones tienen una dirección y una distancia. ¿Se puede crear un mosaico que no tenga simetría traslacional?

Estudiante: Parte de la definición de un mosaico es que tiene un patrón repetitivo. Entonces, pienso que todos los mosaicos  tienen simetría traslacional.

Maestro: Buena observación. ¿De qué otra manera se puede transformar el patrón?

Estudiante: Podría hacer girar el patrón alrededor de un punto, rotándolo. Esto dejaría igual el patrón .


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Maestro: Esto se llama simetría rotacional. Las rotaciones siempre tienen un centro y un ángulo de rotación.  ¿Puede encontrar alguna otra manera de trasformar el mosaico?

Estudiante: Lo único que se me ocurre sería reflejar el patrón en un eje como espejo y luego trasladarlo. ¿Pero será que  esto cuenta?   Estoy combinando dos tipos de simetría.

Maestro: En realidad este es el último tipo de simetría y lo llamamos reflexión de deslizamiento. Es el único tipo de simetría que tiene dos pasos: una reflexión, con traslación, en un eje como espejo. Las reflexiones de deslizamiento son un tipo diferente de trasformaciones  porque algunos mosaicos tienen reflexiones de deslizamiento, pero no traslaciones o reflexiones.


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Ahora ensaye a generar mosaicos  con diferentes combinaciones de trasformaciones.