Discusiones

Dimensión y escala

Discute la dimensión fractal, cómo ésta se relaciona a escala y la fórmula necesaria para calcular la dimensión fractal de un objeto.

Estudiante: Yo se qué son las dimensiones:

  • Los puntos tienen dimensión 0.
  • Las rectas tienen dimensión 1.
  • Las figuras planas tienen dimensión 2.
  • Los volúmenes sólidos, como los cubos, tienen dimensión 3.ñ

 

Maestro: ¡Muy bien!  ¿Qué podemos aprender de estas afirmaciones? Comencemos con una recta, pues los puntos no son tan interesantes en los fractales.

Las rectas tienen longitud, pero carecen de ancho y altura, así que solo las podemos medir en una dimensión. Por esto decimos:

La dimensión euclidiana  de una recta es 1.
Considere el siguiente segmento de recta:


Imagen1

Ahora construyamos segmentos de recta similares, pero de menor escala. Utilizaremos un factor de escala  4 (el segmento de recta mayor es 4 veces más largo que los más pequeños)


Imagen2


Nótese que podemos obtenemos 4 segmentos de recta “auto-similares” del segmento original con este factor de escala. Entonces Dimensión = 1, Escala = 4 y Número de objetos auto-similares = 4  
Haga este ejercicio con un cuadrado, que es una figura plana.

Estudiante:   Buenola dimensión euclidiana de un cuadrado es 2 porque podemos medir el largo y la altura, pero no tiene ancho.  Considere el siguiente cuadrado:


Imagen3


Ahora construyamos cuadrados similares a una escala menor. Utilicemos el factor 3 (El lado del  cuadrado grande es 3 veces más largo que el de los más pequeños).


Imagen4

Nótese que podemos obtenemos 9 cuadrados “auto-similares” del cuadrado original con este factor de escala. Entonces Dimensión = 2, Escala = 3 y Número de objetos auto-similares = 9  
Maestro: Desarrollemos juntos un cubo (sólido): La dimensión euclidiana de un cubo es 3, ya que podemos medir el largo, el ancho y la altura. Considere el siguiente cubo:


Imagen5


Ahora construyamos cubos similares a una escala menor. Usaremos el factor  2 (el lado del cubo  grande es 2 veces más largo que el de los  pequeños)


Imagen6

Nótese que podemos obtenemos 8 cubos “auto-similares” del cubo original con este factor de escala. Entonces  Dimensión = 3, Escala = 2 y  Número de objetos auto-similares = 8. 

Maestro: ¿Qué patrón ve usted aquí?

Estudiante: La dimensión, la escala y el número de copias parecen seguir el patrón:


Imagen7

donde S es la escala, D la dimensión y N el número de objeto auto-similares, o copias.

Maestro: ¡Muy bien!  ¡Los fractales son objetos que tienen dimensiones fraccionadas! Para  ver esto tenemos que aprender a hallar D, cuando conocemos S y N, lo cual  no es fácil dado que D está en el exponente. Tenemos que hablar entonces sobre Exponentes y logaritmos.

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