Discusiones

Relojes y aritmética modular

Muestra cómo la aritmética modular se puede entender como aritmética del reloj.

Estudiante: ¿ Cómo se relacionan el tiempo y la aritmética modular ?

Maestro: La aritmética modular trata con ciclos repetitivos de números y residuos. El tiempo que usamos a diario es un ciclo de 12 horas, dividido en ciclos de 60 minutos.

Estudiante: Y estos están divididos en ciclos de 60 segundos.

Maestro: Correcto. Hablemos de un ciclo de 12 horas. Cada vez que se pasa las 12 comienza nuevamente en 1. Esto es aritmética modular (mod) 12. Veamos un grafico:

Tenemos desde 0 a 11 en un círculo. Para encontrar la respuesta a una pregunta de aritmética modular, comience en 0 y cuente los pasos alrededor del círculo (mmm--) veces. El número donde termine es la respuesta. ¿Por qué no ensaya 16 mod 12 en el círculo dibujado?

Estudiante: Sería 4 16 mod 12 es 4. Ya entiendo, pero ¿por qué no numerar el círculo de 1 a 12?

Maestro: ¡Primero que todo, su respuesta es correcta! Segundo, la razón por la cual numeramos de 0 a 11 se aclarará en un minuto. Ensayemos otra pregunta.¿Qué es 155 mod 12?

Estudiante: Eso me tomará más tiempo.

Maestro: ¿Hay alguna manera más fácil de hallar la respuesta? ¿Nota algún patrón?

Estudiante: No le entiendo.

Maestro: Esta es la forma como se relaciona con lo que ya sabemos de residuos, y con el por qué numeramos de 0 a 11 en vez de 1 a 12. Mire lo que hizo arriba. ¿No es 16 mod 12 lo mismo que el residuo cuando divide 16 por 12?

Estudiante: Entonces, 16/12 = 1 residuo 4. La respuesta es 4.

Maestro: ¡Sí! Entonces, lo que realmente queremos es marcar el círculo con todos los números posibles que podamos obtener como residuos cuando dividimos por 12. ¡Esos son todos los números entre 0 y 11 inclusive! Ahora, ¿qué es 155 mod 12?

Estudiante: 155 dividido por 12 es 12, con 11 que sobran. 155 mod 12 es igual a 11.

Maestro: ¡Correcto! Ya tiene la idea.

Estudiante: E so parece fácil.

Maestro: ¿Cómo cambiarían las cosas si usara segundos?

Estudiante: El módulo cambiaría a 60 y sería lo mismo que con los minutos.

Maestro: Practiquemos con este. ¿Qué es 254 mod 60?

Estudiante: Seria 14 dado que 254/60 = 4 residuo 14.

Maestro: Muy bien. Ahora ya puede manejar las diferentes mediciones de tiempo de la misma manera. El tiempo militar es un ciclo de 24 horas que se puede expresar como mod 24. Como hay 12 meses en el año, estos son mod 12. Recuerde siempre que la aritmética modular se puede desarrollar con cualquier ciclo finito que se repite. ¿Puede mencionar algunos otros?

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