Discusiones

Multiplicación de enteros

Presenta la multiplicación de enteros.

Estudiante: Bien, y ahora que ya entiendo la suma y la resta, ¿existen otras operaciones?

Maestro: Sí, existen otras. La siguiente operación se llama multiplicación . Escribimos los problemas de multiplicación utilizando la forma a x b, que se lee "a por b". Como ejemplo tomemos 5 x 3. Lo que esto quiere decir es que 5 se sumará 3 veces consigo mismo (5 + 5 + 5), pero una mejor manera de pensar en esto es que esta operación significa que se tienen 5 grupos de 3 unidades cada uno. Por lo tanto, para resolver 5 x 3 usted contaría el número de unidades en cada grupo.

Estudiante : Siento que estoy un poco confundido.

Maestro: Bien, entonces utilizaremos un ejemplo que pueda visualizar. Imagínese que tiene 5 platos y que cada plato tiene 3 cuartos de algo en ellos. ¿Cuántos cuartos hay en todos los platos?

Estudiante: Pues bien, si hay 3 cuartos en cada uno de los 5 platos, entonces en total tenemos 15 cuartos. Entonces 5 x 3 = 15.

Maestro: Exactamente. Ahora bien, ¿qué pasaría si tuviéramos 3 platos, cada uno con 5 cuartos?

Estudiante : Entonces habría 5 cuartos en cada uno de los 3 platos, lo cual nos llevaría a tener 15 cuartos en total. Por lo tanto 3 x 5 = 15. ¿Quiere eso decir que la multiplicación es conmutativa como la suma?

Maestro: Sí, la multiplicación es conmutativa. Para cualesquiera a y b, a x b = b x a. También es asociativa. Si está multiplicando tres números, entonces (a x b) x c = a x (b x c) Ahora bien, ¿qué piensa que sucedería en caso de que un número fuera multiplicado por 0 o por 1? Si tiene algún problema con esto, simplemente trate de visualizar lo que significa.

Estudiante: A ver, si uno tuviera cualquier número de platos p, cada uno con 0 cuartos, entonces tendría 0 cuartos en total. Entonces cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0. Ahora bien, si uno tuviera 1 plato con q cuartos, entonces habría q cuartos en total. Por lo tanto cualquier número multiplicado por 1 es el mismo número.

Maestro : Eso es totalmente correcto. Su razonamiento es muy bueno.

Estudiante: Eso no es tan difícil, pero ¿qué pasa con los números negativos? Yo sé como sumarlos, pero ¿cómo se multiplican los números negativos?

Maestro : Bueno, primero debo explicar un poco más lo que es un número negativo. A pesar de que los números negativos son menores a cero, esto no quiere decir que ellos sean menos que nada. Un número negativo es simplemente la negación de un número positivo. Por ejemplo, ¿qué pasaría si usted viajara una milla hacia el este y luego retrocediera una milla hacia el oeste?

Estudiante : Que terminaría donde empecé

Maestro: Exactamente, la milla que usted viajó hacia el oeste anuló la milla que viajó hacia el este. Otra forma de expresar su movimiento hacia el oeste sería decir que usted viajó menos -(una milla al este), o negativo una milla hacia el este. Por eso podemos pensar en el signo negativo como un operador, de la misma manera que el signo de la multiplicación es un operador. Su operación sería reemplazar unidades positivas con unidades negativas.

Estudiante: ¿Adónde exactamente nos está llevando esto?

Maestro: Precisamente adonde queremos llegar. Recuerde que una unidad positiva más una unidad negativa siempre es igual a cero y que, por lo tanto, la relación entre positivo y negativo es recíproca. Esto quiere decir que el negativo de un positivo es un negativo, y que el negativo de un negativo es un positivo. Sabiendo esto, podemos ahora pasar a la multiplicación de los números negativos. Entonces, basándonos en la definición que le di anteriormente, ¿cuánto es 2 x (-3)?

Estudiante : Bueno, 2 x (-3) serían 2 grupos, cada uno con (-3) unidades, entonces el resultado sería (-6) unidades.

Maestro: Bien, esa estaba un poquito difícil, pero la resolvió fácilmente. Ahora qué me puede decir sobre esta: ¿Cuánto es (-2) x 3?

Estudiante : Esa serían (-2) grupos, cada uno con 3 unidades. Pero ¿cómo se cuentan los grupos negativos?

Maestro: En primer lugar, permítame reformularlo como 2 grupos negativos, cada uno con 3 unidades. Ahora bien, un grupo negativo es simplemente un grupo que negaría a un grupo positivo. ¿Qué tipo de grupo negaría a un grupo de 3 unidades?

Estudiante : Un grupo de 3 unidades sería negado por un grupo de (-3) unidades, ¿verdad?

Maestro: Sí, por lo tanto (-2) x 3 = 2 x (-3), que nosotros ya sabemos que es igual a (-6) unidades. Ahora, ¿cuánto cree que es (-2) x (-3)?

Estudiante: Bien, eso sería 2 grupos negativos, cada uno con 3 unidades negativas. Entonces yo necesito saber qué tipo de grupo negaría a un grupo de 3 unidades negativas. ¡sería un grupo de 3 unidades positivas! Entonces (-2) x (-3) = 2 x 3 = 6. Creo que eso es correcto.

Maestro : Exactamente. Entonces lo que usted puede ver en estos ejemplos es que un número negativo multiplicado por un número positivo le dará como resultado un número negativo, y que un número negativo multiplicado por un número negativo le dará un número positivo.

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