Discusiones

Exponentes y logaritmos

Presenta una introducción al concepto de logaritmos y muestra cómo utilizarlos para calcular la dimensión de fractales.

Estudiante: Para encontrar la dimensión de un fractal yo necesito resolver para D, la ecuación:

¿Cómo lo hago?

Maestro: Necesitamos usar alguna manipulación matemática para adivinar el exponente D o para sacar D, del exponente. Intentemos adivinando primero. ¿Qué puede usted decirme sobre el tamaño de D para el Copo de Nieve de Koch ?

Estudiante: Veamos; el numero de partes con que remplazamos el segmento de la recta original es 4, y cada uno es de 1/3 del largo de la línea original. Así que S = 3 y N = 4.

¿Qué potencia de 3 da 4? Bien, 3 1 = 3 y 3 2 = 9, así que D debe estar entre 1 y 2.

Maestro: ¿Dónde entre 1 y 2? Usemos nuestra calculadora y desarrollemos una tabla:

D = 1.5

3 D = 5.196152 -- Demasiado grande

D = 1.3

3 D = 4.171168 -- Demasiado grande

D = 1.2

3 D = 3.737193 -- Demasiado pequeño

D = 1.25

3 D = 3.948222 - Demasiado pequeño pero más cerca

Estudiante: ¡Esto podría tomar mucho tiempo! Pero al menos sabemos que D está alrededor de 1.25.

Maestro: Existe una manera más directa: La respuesta se puede averiguar usando una propiedad de los llamados logaritmos :

 

¿Qué está sucediendo? Estamos tomando "log" en ambos lados de una ecuación. La primera regla para logaritmos: Se permite tomar el logaritmo de ambos lados de la ecuación. Luego estamos bajando b al frente de log (a) y multiplicando, en vez de calcular la potencia. Esta es la regla 2: Sacar el logaritmo de una potencia es igual a multiplicar el logaritmo de la base por el exponente.

Los logaritmos son usados con tanta frecuencia que casi todas las calculadoras tienen una tecla para calcularlos. ¡Así que simplemente calculamos el log (4)/log (3) y nos da 1.261860!

¿Comprende? El Copo de Nieve de Koch no es de una o de dos dimensiones, sino de algo intermedio entre 1 y 2.

Ensaye unas de estas: Dimensiones fractales

Estudiante: ¿Así que alguien se inventó los logaritmos solo para calcular las dimensiones de los fractales?

Maestro: ¡No! Los Logaritmos son muy antiguos y hasta que aparecieron las calculadoras que facilitaron la aritmética, los logaritmos eran usados para multiplicar y dividir grandes números rápidamente. John Napier los inventó para este cometido a principios del siglo XVII publicando un libro llamado Una Descripción de la Maravillosa Ley de Logaritmos en 1.614. Aquí esta la definición actual para log (base 10):

Esto lo que dice es que log base 10 de Y es el exponente de la potencia de 10 que es igual a Y. Estos son algunos de los logaritmos que podemos calcular nosotros mismos:

log(10) = 1

Porque 10 1 = 10

log(100) = 2

Porque 10 2 = 100

log(1/10) = -1

Porque 10 -1 =1/10

Otros logaritmos son más complicados. ¿Qué es log (5)? ¿Qué potencia de 10 nos da 5? Debe ser un exponente mayor que 0 pero menor que 1. ¿Cómo lo encontramos? Hasta que aprendamos algo de cálculo (que será mucho más adelante) nos apoyaremos en la calculadora. Log (5) = 0.698970004.

Estudiante: Usted me dijo que los logaritmos se usaban para multiplicar y dividir grandes números. ¿Cómo funciona eso?

Maestro: Supongamos que tenemos dos números para multiplicar: 1,234,567 y 7,654,321. Si tenemos una tabla de logaritmos encontraremos que:

Log(1,234,567) = 6.091515 y log(7,654,321)=6.883907.

Así que para multiplicar estos números podemos bien sea calcular;

¿Cuál es más fácil?

Estudiante: Creo que la segunda posibilidad debido que cuando tengo que multiplicar dos potencias de la misma base, solo tengo que sumar los exponentes. Así que, 6.091515+6.883907 = 12.975422, entonces la respuesta es 1012.975422 . ¿Ahora qué hago con este número?

Maestro: Si tenemos una tabla de logaritmos, encontramos 12.975422 y tendremos la respuesta. ¡Hemos así cambiado el multiplicar dos números muy grandes por sumar unos números no tan grandes! Claro está que esta posibilidad puede no parecer tan interesante ahora que disponemos de calculadoras que hacen estas multiplicaciones por nosotros. En este caso tenemos:

1012.975422 = 9,449,786,575,000.

Estudiante: ¡Espere! Cuando calculo 1,234,567 x 7,654,321 obtengo en mi calculadora 9.449772114E12. ¿Es esto lo mismo que 9,449,786,575,000?

Maestro: No, no es lo mismo. Seamos muy precisos en esto. Los logaritmos dados anteriormente son aproximaciones, pues log(1,234,567) es aproximadamente 6.091515, así que si multiplicamos los números de esta manera tendremos estimaciones de la respuesta. El número que usted obtuvo estaba en anotación científica; ese (E12) al final indica que debe mover el punto decimal 12 espacios a la derecha y 9,449,772,114,000 es el numero que le da su calculadora. Eso es solamente una estimación. ¿Puede usted decirme cómo sé que no es exacta?

Estudiante: Bueno, si yo multiplico los dos números manualmente, yo sé que el último dígito va a ser un 7 porque el último dígito de 1,234,567 es 7 y el último dígito de 7,654,321 es 1, y 1 x 7 = 7.

Maestro: ¡Muy bien! Debo mencionar algo adicional con respecto a logaritmos antes de terminar: El utilizar la base 10 no es nuestra única alternativa. De hecho cualquier número positivo puede utilizarse como base. Los más populares son 10, 2 y . Este es un número especial que aparece en la ciencia y que cuando usamos log base lo llamamos Log Natural (ln). Más adelante en las clases de ciencias y matemáticas usted encontrará que los logaritmos naturales son muy utilizados

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