Discusiones

Pendiente e intercepto de Y

Discute la pendiente y el intercepto de Y y cómo éstas afectan un gráfico.

Estudiante: ¿Por qué en algunos casos se agrega un número al final de las funciones y en otros no?

Maestro: Cuando no se hace, es porque el número es igual a 0.

Estudiante: ¿Pero qué es exactamente lo que hace ese número?

Maestro: A ese número se le llama el intercepto de Y, y es el punto en el cual la función corta el eje Y.

Estudiante: Yo pensé que todos los puntos estaban compuestos por dos coordenadas: un valor de X y un valor de Y.

Maestro: Eso es correcto, pero si sabemos que un punto es el intercepto de Y, ¿qué podemos asumir sobre X?

Estudiante: Bueno....,  pues si está en el eje Y, entonces X debe ser 0, ¿verdad?

Maestro: Exactamente.  Esto quiere decir que solamente necesitamos un número puesto que ya sabemos que X es 0.

Estudiante: Pero,  ¿cómo sabemos que se trata del intercepto de Y?  ¿Por qué no puede ser el intercepto de X?

Maestro: Bueno, lo que sucede es que el intercepto de Y es el punto en el gráfico donde la función se corta con el eje Y, entonces ¿cuál debe ser el intercepto de X?

Estudiante: El punto en el gráfico donde la función se corta con el eje X.

Maestro: Correcto.  Entonces ahora podemos probar el intercepto de X y de Y.  Hagamos primero el intercepto de Y.  Para empezar, usted debe formular una ecuación lineal.  
  
Estudiante: De acuerdo, entonces digamos  Y=5X+3.

Maestro: Entonces, como sabemos que estamos buscando el intercepto de Y, podemos reemplazar X con 0, puesto que ya sabemos esa coordenada.  ¿De acuerdo?

Estudiante: De acuerdo, entonces sería Y=5*0+3.

Maestro: Correcto.  Ahora, ¿puede simplificarla?

Estudiante: Bueno, entonces sería simplemente Y=3 porque 5*0=0.

Maestro: ¡Exactamente!  Entonces cuando X es 0 la función corta el eje Y en Y=3, que es  el mismo valor que se le sumó a nuestra ecuación.

Estudiante: Entonces cuando X=0,  Y siempre será el número que se le suma al final de la función.  ¿Esto también aplica para las funciones no lineales?

Maestro: ¡Ensáyelo!

Estudiante: Bueno, veamos.  Usaré  Y=X3+4X+6.  Luego reemplazaré X con 0, y puesto que tanto 03 como 4*0 son iguales a 0, entonces Y=6.  ¡Siempre funciona!  Pero, ¿cómo sabemos que el número al final no es el intercepto de X? 
 
Maestro: Bueno, pues para saberlo lo único que tiene que hacer es reemplazar en esta oportunidad a Y con 0.  Entonces, formule una función y ensáyela. 

Estudiante: De acuerdo, entonces Y=4X+6.

Maestro: Bien, ahora reemplace Y por 0 y despeje la ecuación para X.
 
Estudiante: Correcto, entonces si  0=4X+6,  le resto 6 para obtener -6=4X, y luego divido  ambos lados por 4, por lo tanto sería.......-6/4=X.

Maestro: ¡Buen trabajo!  Entonces ahora puede ver que cuando Y=0,  X no es igual al número  sumado.  Ahora ya sabemos que “el número sumado” no es el intercepto de X.  Entonces, ¿qué descubrimos que era?

Estudiante: El intercepto de Y.

Maestro: Exactamente.  Y ahora que sabemos lo que es ese número,  ¿qué cree que pasaría si lo cambiáramos? 
 
Estudiante: Bueno, pues que el intercepto de Y cambiaría, ¿verdad?

Maestro: Correcto, ¿pero qué le pasaría a toda la recta?

Estudiante: Bueno, pues que cambiaría porque  la ecuación cambió, ¿verdad?

Maestro: Sí, y ¿cómo cambiaría?

Estudiante: No estoy seguro. Quizás se volvería una curva después del intercepto de Y.

Maestro: No exactamente, pero está pensando en la dirección correcta.  Vayamos al “applet” El modificador de funciones, y comprobémoslo.  Entre  X+1 donde está   la barra “Definir función”,  enseguida de f(x)=.  ¿Qué observa?

Estudiante:  Que es una recta diagonal que pasa por 1 en el eje Y.


Maestro: Correcto.  ¿Puede ver que el número 1 en su ecuación es de color morado y que encima de éste hay un control deslizante también de color morado?

Estudiante: Si.  ¿Esto me permite cambiar el intercepto de Y?

Maestro: Sí, y ahora juegue con este control y vea lo que le ocurre a la recta.

Estudiante: ¡La recta se mueve hacia arriba y hacia abajo!

Maestro: ¿Qué le sucede al intercepto de Y en su ecuación cuando usted mueve el control deslizante?

Estudiante: Que sube y baja y que además se desplaza hacia los números negativos.  ¿Qué quiere decir esto?

Maestro: Quiere decir simplemente que el intercepto de Y pasa debajo del eje X en el gráfico, hacia los números negativos.

Estudiante: ¿Esto aplica en todo tipo de funciones?

Maestro: Si.  Puede ensayar con cualquier tipo de función, que si ésta es una función real,  trabajará bien.

Estudiante: De acuerdo.  Ya entiendo lo que es  el intercepto de Y  y lo que sucede cuando uno lo mueve, pero ¿qué quiere decir el número enseguida de la X en una función  lineal?

Maestro: Buena pregunta.  Cuando un número está enseguida de una variable, quiere decir que se debe multiplicar ese número por la variable.

Estudiante: Bien, entonces ¿3X  sería 3*X?

Maestro: Exactamente.

Estudiante: ¿Pero qué quiere decir ese número en la ecuación?  ¿Acaso se trata del intercepto de X?

Maestro: No, no se trata del intercepto de X, pues como recordará en el problema que hicimos antes, el intercepto de X era –6/4, pero el número enseguida de  X en ese problema era 4.  Ese número es la pendiente.  ¿Se le ocurre qué pueda ser la pendiente?  Piense en ella como la pendiente de una colina.

Estudiante: Bueno, pues me imagino que se trataría de qué tan inclinada es la recta.
Maestro: Correcto.  La pendiente nos muestra cuántos cuadrados sube la recta,  por cada cuadrado  que ésta se desplaza.  La forma más común de expresarlo  es altura sobre desplazamiento, siendo la altura  la cantidad de unidades que la recta sube, y el desplazamiento la cantidad de unidades que la recta se mueve en cualquier sección de la recta.

Estudiante: ¿Entonces esto quiere decir que si uno sube tres cuadrados cada vez que se desplaza 2 cuadrados, la pendiente sería 3/2?

Maestro: Exactamente.

Estudiante: Pero a veces veo rectas que bajan de izquierda a derecha en vez de subir de izquierda a derecha.  ¿Qué quiere decir esto?

Maestro: Bueno, si baja dos cuadrados por cada uno que se desplaza, ¿se le ocurre cuál sería la pendiente?

Estudiante: Si tenemos que la fórmula  es altura  sobre  desplazamiento, entonces sería  2/1, ¿es correcto?

Maestro: No, no exactamente, puesto que una recta con dos de pendiente estaría subiendo.  La pendiente de una recta que está descendiendo sería exactamente la opuesta.

Estudiante: ¡Ah, entonces sería –2/1!

Maestro: Correcto.  Siempre que tenga una recta descendiendo de izquierda a derecha, esa recta tiene una pendiente negativa.  ¿Por qué no vamos nuevamente al “applet” El modificador de funciones y vemos qué pasa cuando uno cambia la pendiente?

Estudiante: Bueno, ya estoy en el “applet”.  ¿Qué hago ahora?

Maestro: Escriba una función lineal, incluyendo una pendiente y un intercepto de Y.

Estudiante: Bien, entonces escribo f(X)=6X+3.  ¡Me dice que hay un error en mi función!

Maestro: En realidad no es que su función esté mal.  En este “applet” hay que poner un signo de multiplicación entre la pendiente y la variable.

Estudiante: Bueno, entonces ahora escribo f(X)=6*X+3.  Ahora me aparecen dos controles deslizantes.

Maestro: Correcto.  La barra morada aplica al número morado en su función y la verde al número verde en su ecuación.  En este caso,  morado representa la pendiente y verde el intercepto de Y.  Ensaye a moverlas.

Estudiante: Cuando muevo el control de pendiente hacia arriba, la recta se inclina más y cuando  lo muevo hacia abajo se aplana.

Maestro: ¿En qué punto cree que la recta quedará completamente plana?

Estudiante: ¿Cuando la pendiente es 0?

Maestro: Correcto, y ¿en qué punto la recta estará completamente vertical?

Estudiante: No sé.  Voy a ensayar nuevamente con el “applet”.  La verdad es que nunca está completamente vertical.  ¿Por qué?

Maestro: Si recuerda lo que dijimos sobre  la altura y el desplazamiento, cualquier número, por grande que sea, siempre representará lo que se eleva la recta, por cada cuadro que se desplace hacia la derecha.

Estudiante: ¿Entonces cómo se grafica una recta vertical?

Maestro: Para graficar una recta vertical no utilizamos  Y=, sino  X=. Cualquiera que sea el valor de X, éste siempre representa el punto en el cual la recta corta el eje X.

Estudiante: Entonces,  ¿es imposible graficar una recta vertical de la forma Y=mX+b?

Maestro: Sí, así es.  Resumiendo, hoy aprendimos qué es el intercepto de Y y la pendiente, y lo que pasa cuando cambiamos esos números en la ecuación.

Estudiante: Yo siempre creí que los gráficos eran simplemente rectas.  No tenía idea de todo lo que se podía hacer con ellos.

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