Discusiones

Recurrencias

Explica la idea de recursión en cuanto se refiere a fractales y sucesiones.

Estudiante: Cuénteme sobre la recurrencia . ¿Es lo mismo que una iteración?

Maestro: Recurrencia es una clase especial de iteración . La idea es: una recurrencia nos da información inicial y la forma de usarla para obtener nueva información. Luego repetimos la regla dada usando la nueva información como si fuera la información inicial.

Estudiante: ¿Entonces tenemos un ciclo? ¿Lo que resulta de aplicar la regla se usa como entrada para la siguiente iteración?

Maestro: Esa es una buena manera de verlo. Aquí hay un ejemplo clásico de una recurrencia que genera una sucesión de números llamados los Números de Fibonacci :

Aquí tenemos la información inicial y la regla para generar un nuevo valor. La n aumenta su valor en 1 cada vez, entonces podemos hacer preguntas tales como encuentre el noveno número de Fibonacci . Nos dan dos valores iniciales ya que cada nuevo valor es calculado con base en los dos inmediatamente anteriores. Ensaye a generar el noveno número de Fibonacci.

Estudiante: Veamos. Los primeros números son 1 y 1, tal como se nos da. La regla dice que para encontrar el nuevo número se deben tomar los dos números anteriores y sumarlos, y de esta manera obtendría lo siguiente:

n = 3:

1 + 1

=

2

n = 4:

1 + 2

=

3

n = 5:

2 + 3

=

5

n = 6:

3 + 5

=

8

n = 7:

5 + 8

=

13

n = 8:

8 + 13

=

21

n = 9:

13 + 21

=

34

 

Maestro: ¡Muy Bien! Ahora consideremos los ejemplos de fractales vistos hasta el momento. Para fractales la información inicial se llama iniciador , la regla para iterar se llama generador :

Fractal

Iniciador

Generador

Curva de Hilbert

Segmento de línea recta

Otra Curva de Hilbert

Segmento de línea recta

Copo de Nieve de Koch

Triángulo

Cada lado del triángulo

Estudiante: Entonces en cada uno de estos casos tenemos el paso inicial y la regla para movernos al siguiente paso.

Maestro: ¡Sí!

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