Discusiones

Probabilidad condicional

Introducción al concepto de probabilidad condicional y discusión de su aplicación para la resolución de problemas.

Maestro: En el juego de las “Tres cajas”, cada caja contiene dos fichas: la primera tiene dos fichas rojas, la segunda dos verdes y la tercera una verde y una roja. Nosotros no sabemos qué fichas están en cada caja.  Sacamos una ficha de una caja y sale una ficha verde. ¿Cuáles son las posibilidades, teóricamente hablando, de que la segunda ficha también sea verde?  

Estudiante 1: Solo hay una de las tres cajas que tiene dos fichas verdes, entonces la probabilidad debería ser 1/3.

Estudiante 2: Sabemos que la primera ficha era verde. Solo hay dos cajas que contienen fichas verdes. Una de ellas tiene dos fichas verdes, así que la probabilidad es 1/2.

Estudiante 1: Pero un momento, este juego lo hemos jugado varias veces en el computador.  La probabilidad experimental se estaba aproximando cada vez más a 2/3.

Maestro: ¡Tenemos tres respuestas diferentes! Esto hace prever que el problema no es tan fácil. Miremos  varios problemas más sencillos, para luego regresar al juego  de “Las tres cajas”.


Maestro: Miremos en primer lugar un juego de dados, con dos dados de seis lados cada uno.  La suma de los dados dice quién gana (vea Diversión con varios dados para una discusión detallada del juego, o la página de la actividad  (Juego 4)para jugar el juego relacionado).  ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de los dados sea siete?

Estudiante: Hay seis maneras de lograr la suma de siete:

1, 6

2, 5

3, 4

4, 3

5, 2

6, 1

Puesto que al lanzar los dados hay 36 posibilidades de resultados, la probabilidad de obtener la suma de siete es de 6 de un total de 36,  o sea 1/6.

Maestro: Llamemos:

Evento A = {Los dados muestran la suma de  7 o 9}.

Evento B = {El segundo dado muestra 2 o 3}.

Calculemos P(A) y P(B) (las probabilidades de los Eventos A y B) usando una forma directa: contando posibilidades. Es decir, podemos contar tanto las posibilidades favorables, como el número total de resultados. La tabla siguiente muestra la lista de resultados y las sumas de los dados en cada caso.

Podemos resaltar los lugares en la tabla que corresponden a todos los resultados en el Evento A y en el Evento B.

 

Evento A = {Los dados muestran la suma de  7 o 9}
Evento B = {El segundo dado muestra 2 o 3}

Maestro: ¿Cuál es P(A) (la probabilidad del Evento A)?  
 
Estudiante: Existen 10 resultados en el Evento A de un total de 36 resultados, entonces P(A) = 10/36 = 5/18

Maestro: ¿Cuál es la probabilidad de sacar 7 o 9, cuando sabemos que en el segundo dado salió 2 o  3?

Estudiante 1: ¿Por qué no es la misma que P(A)?

Estudiante 2: Porque ahora no son posibles los 36 resultados. Inclusive algunos de los resultados que dan la suma de 7 o 9 son imposibles. Tenemos que volver a contar todos los resultados posibles.

Maestro: Los matemáticos dirían que nuestra pregunta trata sobre probabilidad condicional, porque enuncia: “¿Cuál es la probabilidad del Evento A condicionado al Evento B?” Que es lo mismo que decir “dado que el Evento B”.  Existe un signo especial solamente para ese tipo de probabilidad (cuando la gente se inventa algo, usualmente se inventa una notación para el caso; usted puede crear su propia notación cuando se invente algo).  Tome nota que en vez de escribir “la probabilidad del Evento A” podemos escribir simplemente P(A).  Ahora bien, en vez de escribir “La probabilidad del Evento A condicionado al Evento B”, la gente escribe:

P(A/B)

Estudiante: ¡Eso es  mucho más corto!

Maestro: Para calcular P(A/B) podemos seguir  el mismo procedimiento. Para obtener la suma de 7 o 9,  cuando en el segundo dado sale 2 o 3, debemos obtener las siguientes parejas de números en los dados (ver la tabla):

5, 2

o

4, 3

o

6, 3

Esto nos da 3 resultados. ¿De cuántos posibles resultados totales? Ahora sabemos que con seguridad ocurrió que el Evento B ={el segundo dado muestra  2 o 3}. Esto significa que los resultados que no están en el Evento B no son posibles. Por lo tanto, ¿cuántos resultados posibles contamos?

Estudiante 1: Solamente los resultados  del Evento B. Son 12 en total.

Estudiante 2: Entonces  la probabilidad condicional es:

P(A/B) = 3/12 = 1/4 = .25 o 25%

Maestro: Quiero mostrarles algo. ¿Cuál es la probabilidad de que los Eventos A y B ocurran al mismo tiempo?

Estudiante: En este caso existen 3 resultados de 36, así que tenemos P(A y B) = 3/36 = 1/12

Maestro: Resumiendo:

P(A/B) = 1/4

P(A y B) = 1/12

P(B) = 1/3

Asimismo tenemos que 1/4 = (1/12) / (1/3)

En otras palabras, si dividimos la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo por la probabilidad de B, obtenemos la probabilidad condicional P(A/B). En el lenguaje de las fórmulas tenemos:

P(A/B) = P(A y B)/P(B)

¿Es esto una coincidencia?

Estudiante: Si lo fuera, usted no nos lo estaría preguntando.

Maestro: Lo podría hacer, por diversiónDe cualquier manera, ¿por qué creen que no es una coincidencia?

Estudiante 1: ¿Cómo era que estábamos calculando P(A/B)?  Primero tomamos todos los resultados que estaban tanto en A como en B y luego los dividimos por el número de resultados en B:

                                           

Estudiante 2: Se parece mucho a su formula de probabilidad condicional, solo que tenemos el número de resultados en vez de las probabilidades. ¿Podemos convertirlos en probabilidades de alguna manera?

Maestro: ¿Cómo puede obtener la probabilidad de un evento si sabe el número de resultados del evento?

Estudiante: Calculo el número total de todos  los resultados posibles y divido por éste.

Maestro: Usted sabe que una fracción no cambia si divide tanto el numerador como el denominador por el mismo número…

Estudiante: ¡Sí, yo sé!  Si dividimos tanto el numerador como el denominador de la fórmula de resultados por el número total de resultados, obtendremos la siguiente fórmula para la  probabilidad:

                         

 

Que es lo mismo que:

P(A/B) = P(A y B) / P(B)

Maestro: Hagamos otros ejemplos para ver si esta regla de probabilidad condicional se cumple  siempre.

Estudiante 1: Llamaré:

Evento K = {El primer dado muestra 5 o 6}  y

Evento L = {El segundo muestra 1}

¿Cuál es la probabilidad de K dado que L?

Estudiante 2: Es 2/6 = 1/3. Mirando la tabla, veo que existen 2 resultados en K si sucede que L: (5, 1) y (6, 1).  El número total de posibles resultados es 6, que son todos los resultados en L.

Estudiante 1: La fórmula funciona porque:

P(K/L) = P(K y L) / P(L) = (2/36) / (6/36) = 1/3

Maestro: A propósito, si recuerda la discusión y la fórmula para dos eventos independientes que suceden simultáneamente, usted puede utilizarla para encontrar P(K y L).

Estudiante: La fórmula es:

P(K y L) = P(K) * P(L),

Entonces P(K y L) = 2/6 * 1/6 = 2/36

Que es el mismo número que encontramos en el proceso de contar resultados.

Maestro: Volvamos al “Juego de las tres cajas”. ¿Cree que ahora puede resolver el misterio?


Estudiante 1: El “Juego de las tres cajas” trata de probabilidad condicional. La pregunta es: “¿Cuál es la probabilidad de que la segunda ficha en la caja sea verde, dado que la primera es verde?” Podemos utilizar la fórmula para resolverlo.  Enunciemos:

Evento A = {la segunda ficha en la caja es verde}

Evento B = {la primera ficha en la caja es verde}

Entonces estamos buscando P(A/B), y podemos usar la fórmula  P(A/B) = P (A y B) / P(B).

Estudiante 2: P(A y B) = 1/3, porque hay una caja de tres donde ambas fichas son verdes.

Estudiante 1: P(B) = 3/6 = 1/2, porque hay tres fichas verdes de un total de seis.

Estudiante 2: Entonces la fórmula nos da lo siguiente:

P(A/B) = (1/3) / (1/2) = 2/3

Maestro: ¡Encontramos el mismo número que en los experimentos!

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