Discusiones

Substitución

Extiende la noción de probabilidad condicional discutiendo los efectos de la substitución cuando se retiran múltiples objetos.

Maestro: Comencemos por definir nuestro juego. Tenemos una bolsa con canicas. Dentro de esta bolsa hay canicas de dos colores: rojas y azules. En nuestro ejemplo diremos que son 4 rojas y 4 azules. Sacamos, sin mirar, dos canicas, y vemos que ésta es roja. ¿Cuáles son las posibilidades, teóricamente hablando, de que la segunda también sea roja?

Estudiante 1: Eso es muy fácil. Sabemos que en la bolsa  hay 4 canicas de cada color, para un total de 8, así que hay una posibilidad de 4/8 de sacar una roja, o sea  1/2, y otra 1/2 posibilidad de sacar otra roja. Entonces la probabilidad de que ambas sean rojas es de 1/2 x 1/2 = 1/4.

Estudiante 2: Pero espere un minuto. Si sacamos 1 canica roja, ¿acaso esto no quiere decir que quedan únicamente 7 canicas en la bolsa, de las cuales únicamente 3 son rojas?  ¿Esto no haría que la nueva probabilidad fuera 1/2 * 3/7 = 3/14

Maestro: ¡Tenemos dos respuestas diferentes! Quizás el problema no sea tan simple como pareciera en el primer momento. Veamos algunos problemas más fáciles y luego regresaremos al de “La bolsa de canicas”.


Maestro: Toda esta pregunta gira alrededor de un término llamado substituciones. Lo que dicen los dos es correcto, pero todo depende de la forma en que visualicen el problema.

Miremos un problema más fácil.  Digamos que tenemos solamente 4 canicas en la bolsa, 2 rojas y 2 azules.  La posibilidad de sacar una roja es de ½.  Ahora digamos por un momento que no volvimos a poner en la bolsa la canica que sacamos.  Entonces, ¿cuántas canicas tenemos en total en la bolsa después de sacar la primera canica roja?

Estudiante 2: En total quedan 3.

Maestro: ¿Cuál es la probabilidad de sacar otra canica roja, sin substituir la ya sacada?

Estudiante 1: Entonces sería1/2*1/3 que es igual a  1/6, ¿verdad?

Estudiante 2: Esto sería porque quedan solamente tres canicas en la bolsa. ¿Entonces mi respuesta a la primera pregunta fue correcta?

Maestro: Sí, si usted escogió verlo así. Regresemos a nuestro problema más sencillo de las 4 canicas.  Veamos qué sucede si resolvemos substituir la canica que acabamos de sacar.

Ya encontramos que la probabilidad de sacar una roja es de ½.  Ahora encontremos ¿cuál es la probabilidad de sacar otra canica roja, si decidiéramos volver a echar en la bolsa la canica que acabamos de sacar?

Estudiante 1: Entonces sería como yo dije en mi respuesta al primer problema. La probabilidad de sacar otra canica roja es 1/2, igual que la primera vez que sacamos una canica. Así que la probabilidad de sacar dos rojas sería 1/2*1/2 o 1/4.

Profesor: Correcto, todo depende si reponemos o no, la canica ya sacada. Cada vez que tengamos que encontrar la probabilidad  escogiendo múltiples objetos del mismo conjunto, tenemos que decidir si trabajamos con reemplazos o no.

El proceso de escoger objetos dentro de conjuntos para determinar como es el contenido total, se llama muestreo, así que hemos estado hablando de muestreos con y sin reemplazos.

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