Patrones en los fractales

Guía al estudiante para encontrar patrones de números en la generación de diferentes tipos de fractales.

Grados 6-8

• Álgebra
  • Comprender patrones, relaciones y funciones

Grados 9-12

• Álgebra
  • Comprender patrones, relaciones y funciones
• Geometría
  • Utilizar visualización, razonamiento espacial y modelado geométrico para resolver problemas.

• Aritmética: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • hacer aritmética con enteros y fracciones
  • trabajar con el Teorema de Pitágoras
  • calcular el área de un triángulo
• Tecnológicos:   Los estudiantes deben ser capaces de
  • hacer movimientos básicos con el ratón como apuntar, hacer click y arrastrar.
  • usar un navegador para experimentar con las actividades.

• acceso a un navegador
• lápiz y papel
• acceso a una calculadora (opcional)
• Copias de material suplementario para las actividades
  • Tabla de datos para patrones en fractales

• Enfoque y repaso

  Recuerde a los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores que sea útil para esta y anímelos a pensar en los términos e ideas de esta lección.

  • Si los estudiantes han estudiado fractales previamente, puede preguntar: "Recuerdan qué son fractales?" "¿Qué pueden decir sobre ellos?" o "¿Puede alguien decirme qué tienen qué ver los fractales con patrones? 
  • Si los estudiantes no han estudiado fractales, esta bien; no es necesario saber de fractales para esta lección. Usted puede empezar con preguntas como estas: "Alguien sabe qué es un patrón o qué es una sucesión? O, ¿puede alguien mencionar una sucesión que veamos diariamente?"
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Objetivos

• Hoy hablaremos sobre patrones. Después de esta lección los comprenderán mucho mejor, podrán hablar sobre ellos y  serán capaces de identificarlos en un proceso. 
• Usaremos computadores para aprender sobre patrones,  pero no los prendan ni vayan a esta página todavía.  Primero quiero  decirles algo sobre esta actividad.
   
• Aportes del maestro

  Explique a los estudiantes cómo hacer la tarea. Usted debe mostrarles cómo hacerla, sobre todo si no están familiarizados con el uso de aplicaciones para el computador, en este proyecto de Matemática Interactiva.

   

  • Abra en su navegador la aplicación Generador de la curva de Hilbert y muéstrela a los estudiantes. 
  • Pregunteles  qué ven. Deberían responderle que ven un segmento. Muéstreles que el texto de la parte superior  indica que el segmento tiene una longitud de 1.0 unidades.
  • Explique a los estudiantes que cuando usted activa el botón de ir al paso siguiente tiene lugar un proceso y que sucederá algo al segmento de la pantalla.
  • Active el botón de ir al paso siguiente.Pida a los estudiantes describir lo que ven. Ayúdelos a concluir que el segmento se ha dividido en tres partes iguales y el  rectángulo está en el tercio de la mitad.
  • Pida a los estudiantes las longitudes de los segmentos del rectángulo y de la recta. Ayúdelos a concluir que la nueva figura está formada por 9 segmentos, todos de la misma longitud. Enfatice el hecho de que el texto  en la parte superior  indica que hay 9 segmentos de recta de longitud 1/3.0 unidades.
  • Pregunte a los estudiantes qué significa 1/3.0. Deberían responder que significa un tercio. Pregunte:  "¿Un tercio de qué?" Ayúdelos a concluir que estos segmentos tienen un tercio de la longitud del segmento de recta original.
  • Pida a los estudiantes conjeturar qué pasará cuando usted active el botón de ir al paso siguiente. Explíqueles que lo sucedido con cada segmento en el paso anterior sucederá nuevamente con cada segmento de la figura. 
  • Presione el botón de ir al paso siguiente. Pregunte a los estudiantes si se sorprendieron con el resultado. Pida a uno de ellos que explique por qué la figura aparece así. Señale el texto que muestra a los estudiantes cuántos segmentos hay en la figura y cuál es su longitud.  
  • Pregunte a los estudiantes "¿Tiene sentido que cuando dividimos cada uno de los segmentos del paso anterior en tres partes estos segmentos deban ser de 1/9 de longitud?" Pida a un estudiante que explique por qué esto es así.
  • Distribuya la Tabla de datos para patrones en fractales. Muestre cómo respondería usted las preguntas para la curva de Hilbert.
     
• Práctica guiada

  Trabaje otro ejemplo, dejando que los estudiantes le indiquen qué hacer cada vez. O, simplemente pregunte: "¿Puede alguien describir los pasos requeridos para hacer esta tarea?"

   

  • Si parece que la clase entiende el proceso para hacer la tarea, pregunte simplemente: "¿Puede alguien indicarnos los pasos necesarios para completar esta gráfica?"
  • Si parece que la clase tiene dificultades con el tema trabaje otro ejemplo con los estudiantes, pero deje que ellos le indiquen el proceso.
    • Abra la aplicación Otro generador de la curva de Hilbert
    • Pregunte: "¿Qué necesito para responder esta primera pregunta de nuestra tabla de datos?"
    • Deje que los estudiantes dirijan la clase a través de los pasos necesarios para responder las preguntas hechas en esta segunda aplicación. Si le parece que tienen dificultades ayúdelos; si cometen un error, trate de que ellos lo encuentren por sí solos o sugiérales amablemente que busquen una alternativa.
      
      Práctica independiente
       
• • Permita que los estudiantes trabajen solos para completar el taller sobre Tabla de datos. Desplácese por el salón de clase atento a posibles preguntas y para asegurarse de que los estudiantes están en el sitio web correcto. 
  • Los estudiantes usarán estos sitios adicionales:
    • Triángulo de Sierpinski
    • Copo de nieve de Koch
    • Tapete de Sierpinski
  • Es posible que los estudiantes necesiten ayuda con las preguntas que requieren encontrar áreas, en las últimas tres aplicaciones. Puede optar por dejar que trabajen en grupos buscando  métodos para calcular tales áreas. Si la pregunta parece demasiado difícil deje que los estudiantes cambien de aplicación o que completen las preguntas más difíciles ganando crédito extra. 
     
• Cierre

  Puede optar por reunir nuevamente a los estudiantes para discutir los resultados. Cuando hayan compartido sus hallazgos, haga un resumen de los resultados de la lección. Puede elaborar una lista de características para que los estudiantes las anoten en sus cuadernos.

Formas de reorganizar esta lección:

• Usar sólo dos aplicaciones para esta lección.
• Asignar cada una de las cinco aplicaciones a cinco grupos distintos que reporten sus resultados al regresar a clase.
• O usted puede idearse la forma de usar esta lección de tal manera que se ajuste a las necesidades de los estudiantes.

Inmediatamente después de esta clase puede verse Patrones en los fractales, que permite a los estudiantes seguir desarrollando las habilidades necesarias en la identificación de patrones. Otra lección Introducción a sucesiones muestra a los estudiantes sucesiones o secuencias de números no necesariamente relacionadas con formas geométricas o fractales.