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Estudiante: Cuénteme sobre la recurrencia . ¿Es lo mismo que una iteración?
Maestro: Recurrencia es una clase especial de iteración . La idea es: una recurrencia nos da información inicial y la forma de usarla para obtener nueva información. Luego repetimos la regla dada usando la nueva información como si fuera la información inicial.
Estudiante: ¿Entonces tenemos un ciclo? ¿Lo que resulta de aplicar la regla se usa como entrada para la siguiente iteración?
Maestro: Esa es una buena manera de verlo. Aquí hay un ejemplo clásico de una recurrencia que genera una sucesión de números llamados los Números de Fibonacci :
Aquí tenemos la información inicial y la regla para generar un nuevo valor. La n aumenta su valor en 1 cada vez, entonces podemos hacer preguntas tales como encuentre el noveno número de Fibonacci . Nos dan dos valores iniciales ya que cada nuevo valor es calculado con base en los dos inmediatamente anteriores. Ensaye a generar el noveno número de Fibonacci.
Estudiante: Veamos. Los primeros números son 1 y 1, tal como se nos da. La regla dice que para encontrar el nuevo número se deben tomar los dos números anteriores y sumarlos, y de esta manera obtendría lo siguiente:
n = 3: |
1 + 1 |
= |
2 |
n = 4: |
1 + 2 |
= |
3 |
n = 5: |
2 + 3 |
= |
5 |
n = 6: |
3 + 5 |
= |
8 |
n = 7: |
5 + 8 |
= |
13 |
n = 8: |
8 + 13 |
= |
21 |
n = 9: |
13 + 21 |
= |
34 |
Maestro: ¡Muy Bien! Ahora consideremos los ejemplos de fractales vistos hasta el momento. Para fractales la información inicial se llama iniciador , la regla para iterar se llama generador :
Fractal |
Iniciador |
Generador |
Curva de Hilbert |
Segmento de línea recta |
|
Otra Curva de Hilbert |
Segmento de línea recta |
|
Copo de Nieve de Koch |
Triángulo |
Cada lado del triángulo |
Estudiante: Entonces en cada uno de estos casos tenemos el paso inicial y la regla para movernos al siguiente paso.
Maestro: ¡Sí!