Lecciones

Introducción a los fractales: infinito, auto similaridad y recursión

Presenta a los estudiantes las ideas involucradas en la comprensión de los fractales.

Esta lección está diseñada para que los estudiantes piensen en conceptos relacionados con fractales, incluyendo recursión y auto-similaridad. Se utilizan también los conceptos matemáticos de segmentos de recta, área, perímetro e infinito y se practica la habilidad para reconocer patrones.

Todos los fractales aquí generados comienzan con curvas simples formadas a partir de segmentos de rectas. Ellos exhiben las curiosidades que intrigaron a los matemáticos que se ocupaban del concepto de infinito hacia comienzos del siglo pasado. Las curvas de Hilbert demuestran que una curva que parece de dimensión 1 puede llenar un espacio de 2 dimensiones, y el Copo de Nieve de Koch demuestra que una curva de dimensión 1 puede ser infinitamente larga y encerrar un área finita.

Presenta a los estudiantes las ideas involucradas en la comprensión de los fractales.

Las actividades y las discusiones de esta lección siguen los estándares del CNMM.

Álgebra

Entender patrones, relaciones y funciones.

  • Representar, analizar y generalizar una variedad de patrones con cuadros, gráficos, palabras y, cuando es posible, con reglas simbólicas.
  • Relacionar y comparar diferentes formas de representación de una relación.

Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

  • Construir u resolver modelos para problemas de contexto, usando diferentes representaciones como gráficos, cuadros y ecuaciones.

Geometría

Aplicar transformaciones y usar simetría para analizar situaciones matemáticas.

  • Describir tamaños, posiciones, y orientaciones de figuras bajo transformaciones no formales, tales como saltos, giros, deslizamientos y alargamientos o acortamientos.
  • Examinra congruencia, semejanza y simetría lineal o rotacional de objetos mediante transformaciones.

Usar visualización, razonamiento espacial y modelos geométricos para resolver problemas.

  • Dibujar objetos geométricos que tienen propiedades específicas como la longitud de los lados o las medidas de los ángulos.
  • Usar modelos geométricos para representar y explicar relaciones numéricas y algebraicas.
  • Reconocer y aplicar ideas y relaciones geométricas en contextos diferentes a la clase de matemáticas, tales como el arte, las ciencias y la vida diaria.
  • Geometría: Los estudiantes deben ser capaces de:
    • Reconocer y dibujar objetos tales como rectas, rectángulos, triángulos y cuadrados.
    • Entender los conceptos de área y perímetro y usar formulas para calcularlos.
  • Aritmética : Los estudiantes deben ser capaces de:
    • Formar fracciones con razones de tamaños.
    • manejar fracciones en sumas y multiplicaciones.
  • Tecnológica: Los estudiantes deben ser capaces de:
    • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas como señalar, hacer clic y arrastrar.
    • Utilizar navegadores, Netscape por ejemplo, para experimentar con las actividades.

Los estudiantes necesitarán:

Los grupos de trabajo para estas actividades no deben tener más de 3 personas. Si trabaja una o dos iteraciones de cada curva con toda la clase antes de que los grupos trabajen individualmente, se puede disminuir el tiempo que necesitan para descubrir los patrones. Presupueste de 15 a 20 minutos para cada exploración.

1. Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores que sea pertinente para este caso, y haga que ellos comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección:

¿Puede alguien explicar lo que significa infinito ?

2. Objetivos

Indíqueles a los estudiantes qué estudiarán y qué aprenderán hoy. Dígales algo como:

3. Aportes del maestro

Presente los términos:

Iniciador :

La curva inicial o la figura.

Generador :

La regla utilizada para construir una curva o figura nuevas a partir de la anterior.

Iteración:

El proceso de repetir el mismo paso una y otra vez.

4. Práctica guiada

  • Describa la Carrera de la tortuga y la liebre a los estudiantes y pídales que adivinen quién ganará la carrera. Pídales ejecutar varias etapas de la carrera, e interrúmpalos cuando descubran lo qué está pasando
  • Haga que los estudiantes ejecuten varias etapas de El peine de Cantor . Ellos deben identificar los patrones formados por las longitudes de los segmentos y por la longitud total de la curva. Puede ser necesario dibujar dos o tres iteraciones antes de que descubran el patrón para tales longitudes.
  • Repita el ejercicio anterior para La curva de Hilbert.
  • Guíe una discusión con la clase para aclarar qué significa “un número infinito de veces”.
  • Repita el ejercicio anterior para Otra curva de Hilbert , pidiéndoles esta vez a los estudiantes que discutan cómo un cambio pequeño en el generador puede ocasionar un cambio muy grande en el objeto final.
  • Repita el ejercicio anterior para La curva de Koch , preguntándoles por los patrones del área demarcada y de la longitud de la curva.
  • Oriente una discusión con la clase para introducir la idea formal de recursión.
  • Oriente una discusión con la clase para introducir la idea formal de auto-similaridad.

5. Práctica independiente

  • Dé a los estudiantes suficiente tiempo para que completen algunas de, o todas, las hojas de trabajo que vienen con los “simulacións” usados en esta lección.
  • Pida a los estudiantes dibujar un par de iteraciones de algunos de los fractales usados en esta lección y discuta con ellos por qué los computadores son tan útiles cuando se estudian fractales.

6. Cierre

Reúna la clase para discutir los resultados. Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias, haga un resumen de la lección.

Esta lección se puede reorganizar de varias maneras:

  • Escoja menos actividades para trabajar. Por ejemplo, se pueden cubrir únicamente El peine de Cantor, La curva de Hilbert y El copo de nieve de Koch y aun así lograr una buena discusión sobre el infinito, la auto-similaridad y la recursión.
  • Reparta las actividades entre diferentes grupos de estudiantes y pídales que hagan presentaciones.
  • Omita una o más discusiones sobre conceptos y concéntrese en reconocimiento de patrones y en fracciones.
  • Haga que los estudiantes dibujen manualmente varios de los pasos de cada actividad, antes de permitir el uso del computador. Para esto necesita reglas y papel de graficar. Necesitará de 10 a 15 minutos adicionales por actividad.
  • Combine esta lección con la de Fractales geométricos , para dar a los estudiantes un esquema completo de fractales regulares, incluyendo una definición formal.
  • Si tiene conexión a internet, use la ultima versión del software El copo de nieve para explorar más a fondo los fractales por deformación de rectas.

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes habrán visto algunos de los fractales clásicos pordeformación de rectas. La lección siguiente, Fractales geométricos, continúa con la exploración inicial de los fractales, y con aquellos formados por la continua remoción de porciones de figuras planas, tales como cuadrados y triángulos.

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