Lecciones

Fractales y el juego del caos

Aborda una aproximación al juego del caos y su relación con los fractales geométricos.

Esta actividad está diseñada para profundizar el trabajo de la lección Fractales geométricos. Aquí los estudiantes verán cómo el Triángulo de Sierpinski puede surgir de fuentes que aparentemente no guardan entre sí ninguna relación, lo cual les muestra la existencia de interconexiones entre diferentes áreas de las matemáticas.

Aborda una aproximación al juego del caos y su relación con los fractales geométricos.

Las actividades y las discusiones de esta lección siguen los estándares CNMM:

Números y Operaciones

Entender los números, formas de representarlos, relaciones entre ellos, y sistemas numéricos.

  • Utilizar representación en fracciones, decimales o porcentajes, para resolver problemas.

Álgebra

Entender patrones, relaciones y funciones.

  • Representar, analizar y generalizar una variedad de patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando es posible, con reglas simbólicas.
  • Relacionar y comparar diferentes formas de representación de una relación.

Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

  • Crear y resolver modelos para problemas contextualizados, usando para ello diferentes representaciones, como gráficos, tablas y ecuaciones.

Geometría

Usar visualización, razonamiento espacial y modelos geométricos para resolver problemas.

  • Dibujar objetos geométricos con propiedades especificadas, tales como longitud de los lados o medidas de los ángulos.
  • Usar modelos geométricos para representar y explicar relaciones numéricas y algebraicas.
  • Reconocer y aplicar ideas y relaciones geométricas en contextos diferentes a los del salón de clase de matemáticas, como el arte, la ciencia y la vida diaria.
  • Geometría: Los estudiantes deben ser capaces de:
    • Reconocer y dibujar objetos como rectas, rectángulos, triángulos y cuadrados.
  • Aritmética : Los estudiantes deben ser capaces de:
    • Manejar fracciones en sumas y multiplicaciones.
  • Tecnológica: Los estudiantes deben ser capaces de:
    • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas como señalar, hacer clic y arrastrar.
    • Utilizar navegadores, Netscape por ejemplo, para experimentar con las actividades.

Los estudiantes necesitarán:

Esta lección se debe iniciar con los estudiantes trabajando individualmente, con papel y lápiz. Destine unos 10 o 15 minutos para que exploren individualmente. Después, déjelos que, individualmente o en grupos pequeños, exploren la actividad en el computador. Calcule una hora de trabajo para el conjunto completo de las actividades en el computador, y deje un tiempo adicional para su discusión.

1. Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores y que sea pertinente para este caso, y póngalos a pensar en las palabras e ideas de esta lección:

  • ¿Quién recuerda lo que es un fractal?
  • ¿Quién puede explicar lo que es un patrón, o modelo?
  • ¿Quién puede explicar lo que significa “aleatorio”?
  • ¿Alguien piensa que un proceso aparentemente aleatorio puede generar un patrón?

2. Objetivos

Cuente a los estudiantes qué harán y qué aprenderán hoy. Dígales algo como:

  • Hoy aprenderemos cómo un proceso aparentemente aleatorio puede generara un patrón conocido.
  • Usaremos computadores para aprender sobre patrones, pero por favor no enciendan el computador ni pasen a la página correspondiente hasta cuando yo lo indique. Antes quiero mostrarles algo relacionado con esta actividad.

3. Aportes del maestro

  • Antes de decir algo, dibuje en el tablero tres puntos grandes que representen los vértices de un triángulo equilátero. Llámelos A, B y C. Explique a la clase que usted va a iniciar la actividad escogiendo al azar un punto en el tablero. Dibuje el punto y después, uno por uno, pida a cada estudiante que escoja un punto entre A, B o C. Entonces, dibuje un punto pequeño a mitad de camino entre el último punto dibujado y el vértice escogido por el estudiante.
  • Cuando todos los estudiantes hayan elegido un vértice, pregúnteles si alguno logra reconocer un patrón (Probablemente la respuesta sea negativa)
  • Pregúnteles qué piensan que pasará si el proceso continúa por un tiempo largo.
  • Explíqueles que lo que están haciendo es precisamente lo que hace el Juego del caos.

4. Práctica guiada

  • Haga que los estudiantes ensayen la versión básica (con el triángulo) del “simulación” El juego del caos , colocando 20 puntos por vez durante tantas iteraciones como sean necesarias, hasta que reconozcan que se ha formado el Triángulo de Sierpinski
  • Oriente una discusión sobre probabilidad básica que prepare a los estudiantes para la práctica independiente.

5. Práctica independiente

  • Pida a los estudiantes que, utilizando el “simulación” del Juego del caos , ensayen cambiando las probabilidades para varias de las figuras iniciales, haciendo y verificando suposiciones sobre las figuras finales.
  • Solicite a los estudiantes que escriban a qué valores piensan cambiar la probabilidad, qué resultados esperan y qué resultados obtienen.
  • Si lo desea, entregue la hoja de trabajo de este “simulación” y haga que los estudiantes la completen.

6. Cierre

  • Reúna la clase para discutir los resultados. Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias, haga un resumen de la lección.

Esta lección se puede reorganizar de varias maneras:

  • Combine la versión del triángulo de esta actividad con la lección Fractales geométricos, para presentar una introducción sencilla al triángulo de Sierpinski y a los fractales.
  • Combine la versión del triángulo de esta actividad con las lecciones Fractales geométricos y El triángulo de Pascal, para presentar una introducción clara al triángulo de Sierpinski examinando tres formas diferentes de generar esta figura.
  • Si está conectado a Internet, use la versión actualizada del Generador de juntas de Sierpinski (o, en inglés,Sierpinski gasket maker) , para ver generalizaciones de las figuras de Sierpinski, en las que el usuario puede especificar la probabilidad de un movimiento y una rotación.

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes notarán que el tapete y el triángulo de Sierpinski explorados en la lección Fractales geométricos también aparecen en el juego del caos. La siguiente lección, Propiedades de los fractales , es fundamental y está diseñada para resumir y afianzar la noción de fractal, ahora que los estudiantes han visto varios de ellos. Una alternativa de avance es la lección El triángulo de Pascal , en la cual el nuevamente aparece el triángulo de Sierpinski de una fuente diferente (en este caso, del triángulo de Pascal )

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