Discusiones

La cuadratura del triángulo

Introduce a los estudiantes al Teorema de Pitágoras y explica en qué consiste y cómo se encuentra.

Maestro: Hoy trabajaremos con triángulos rectángulos.  Antes de iniciar, ¿cuál es la definición de un triángulo?

Estudiante:  Es una figura de tres lados.

Maestro:   Correcto, y ¿qué es un triángulo rectángulo? 

Estudiante: Un ángulo recto es un ángulo de 90°, entonces ¿un triángulo rectángulo no sería uno cuyos ángulos sumen 90°? 

Maestro: Estuvo bien cuando lo relacionó con un ángulo recto, pero no cuando dijo que la suma de los tres ángulos debía ser 90°.  Lo que significa en realidad es que uno de los ángulos del triángulo rectángulo  es de 90°.  Sería imposible que todos los ángulos sumaran 90°  puesto que en todos los triángulos los ángulos deben sumar 180°. 

Estudiante:  Entonces, un triángulo rectángulo es uno que tiene un ángulo recto.

Maestro: Bien. Ahora que ya sabemos qué es triángulo rectángulo, ¿cuánto será la suma de los otros dos ángulos?

Estudiante: Si un triángulo tiene en total 180° grados y un ángulo recto tiene 90°, entonces la suma de los otros dos ángulos debe ser igual a 90°.

Maestro: Muy bien, ahora ya sabemos lo básico de un triángulo rectángulo.  Lo que aprenderemos hoy es cómo encontrar la longitud del tercer lado en un triángulo rectángulo, cuando ya se conoce la longitud de los otros dos lados.

Estudiante: ¿Por qué uno no puede simplemente medir la longitud?

Maestro: En algunos casos se puede, pero podría ser aburrido y dar pie para que se cometan errores.  El proceso matemático es más preciso.  Además, hay casos en los cuales no se puede tomar la medida, o porque no se tiene una regla a mano, o porque el triángulo no está dibujado a escala, o porque simplemente se dan únicamente números sin un dibujo.

Estudiante: Entonces, si no se puede confiar en la medición, ¿cómo se haría? 

Maestro: Para encontrar los lados desconocidos en triángulos rectángulos, usamos un resultado llamado El teorema de Pitágoras.  Se llama así porque fue creado por un filósofo y científico griego llamado Pitágoras.

Estudiante: ¿Qué es el teorema de Pitágoras y cómo lo usamos?

Maestro: El teorema de Pitágoras dice que A2+B2=C2 donde A representa un cateto del triángulo, B el otro cateto, y C representa la hipotenusa, que es el lado opuesto al ángulo recto. 

Estudiante: ¿Cómo usamos este teorema, puesto que hay tres variables involucradas?

Maestro: Recuerden que al principio de la lección les dije que encontraríamos la longitud del tercer lado de un triángulo, usando la longitud de los otros dos lados.

Estudiante: ¡Sí, ahora lo recuerdo! Entonces podemos reemplazar dos de esas variables con los lados que ya conocemos.  ¿Pero cómo sabemos qué longitudes representan las variables?

Maestro: Bien, si yo marco los lados del triángulo como A, B y C, donde A y B son los catetos del triángulo y C es la hipotenusa, ¿cómo nos puede servir esta información cuando usemos el teorema de Pitágoras?

Estudiante: Pues entonces tendría sentido que A fuera la longitud del lado A y que B fuera la longitud del lado B. 
Maestro: Bien, ahora veamos por qué y cómo funciona este teorema y luego podemos practicar haciendo un par de ejercicios.  Vamos a la actividad La cuadratura del triángulo.

Estudiante: Hay un triángulo con un cuadrado construido sobre cada lado, ¿es un triángulo rectángulo?

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Maestro: Miren el lado donde dice medidas de los ángulos, y díganme si es un triángulo rectángulo.

Estudiante: ¡Sí, lo es!  El ángulo C es de 90° grados.

Maestro: Correcto, en esta actividad el triángulo siempre es un triángulo rectángulo.  Vamos a utilizar esta actividad para probar el teorema de Pitágoras.

Estudiante: Pero un momento, los ángulos están marcados como A, B y C, y yo pensé que el teorema de Pitágoras trabajaba con las longitudes de los lados.

Maestro: Es cierto que el teorema de Pitágoras trabaja con la longitud de los lados, pero recuerde que en situaciones diferentes las variables significan cosas diferentes.  No importa cómo esté marcado el triángulo, pues  A, B y C siempre representarán los lados.

Estudiante:  Entonces en este caso sería  (recta AC)2+(recta BC)2=(recta AB)2

Maestro: Exacto.

Estudiante:  Bien. Entonces, ¿para qué son los cuadrados construidos sobre los lados del triángulo?  Pensé que el teorema de Pitágoras funcionaba únicamente con triángulos.

Maestro: Es correcto que el teorema de Pitágoras se utiliza únicamente con triángulos, pero si usted se fija, verá que en el teorema de Pitágoras  todos los lados están elevados al cuadrado. Veamos entonces lo que pasa cuando se eleva un número al cuadrado.  Saquen un papel de graficar y elevemos 4 al cuadrado. 

Estudiante: Muy fácil, es 16.

Maestro: Bien, pero veamos en primer lugar de donde proviene el nombre de elevar al cuadrado.

Estudiante: ¿Qué hago con el papel de graficar?

Maestro: Primero tomen cuatro cuadrículas del papel de graficar, y sombréenlas.

Estudiante: ¿Tomamos cuatro puesto que cuatro es el número que estamos tratando de elevar al cuadrado?

Maestro: Correcto; si estuviéramos tratando de elevar al cuadrado a nueve, entonces ustedes le pondrían sombra a nueve cuadrados en una línea.  Ahora ya saben que cuatro elevado al cuadrado es simplemente cuatro veces cuatro, ¿correcto?

Estudiante: Sí, siempre es el número tantas veces el mismo número. 

Maestro: Correcto, ¿recuerdan que la multiplicación es simplemente sumar números varias veces, de tal manera que 5*3 en realidad sería 5+5+5? 

Estudiante:   Sí, entonces 2*5 sería 2+2+2+2+2.

Maestro: O más sencillo aún sería 5+5, pero tiene la idea correcta.  Entonces, 4*4 ¿sería qué?

Estudiante: Sería 4+4+4+4, ¿verdad?

Maestro: Bien, entonces ya tenemos los primeros cuatro escritos en el papel de graficar, ahora adicionemos otros 4 en la fila justo debajo de los cuatro primeros.  Entonces ahora hemos agregado 4+4.  Ahora agreguemos otro 4 en la fila debajo de los otros dos cuatros, entonces tenemos 4+4+4.  ¿Pueden adivinar lo que haremos enseguida? 

Estudiante:   ¡Agregar otro 4 en la fila debajo de esa!

Maestro: Bien, y con todas las cuadrículas sombreadas ¿qué  tienen?

Estudiante: ¡Un cuadrado!

Maestro: Correcto, y de ahí viene el término al cuadrado, porque el resultado es un cuadrado.  Hagamos otro ejemplo, ahora con el tres al cuadrado.

Estudiante:   ¡Eso también es un cuadrado! 

Maestro: Bien, ¿entienden ahora porqué hay cuadrados sobre los lados del triángulo en  “La cuadratura del triángulo”? 

Estudiante: Pues se llama “La cuadratura del triángulo” porque se ha cuadriculado cada lado del triángulo.


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Maestro: Pero ¿por qué la actividad se llamará “La cuadratura del triángulo”?  Piensen en el teorema de Pitágoras. 

Estudiante: ¡Ya sé!  En el teorema de Pitágoras A, B y C están elevados al cuadrado, y A, B, y C representan los lados del triángulo, por eso elevaron al cuadrado los lados del triángulo. 

Maestro: ¡Exacto!  Esta actividad se elaboró para ayudar a la gente a entender el teorema de Pitágoras, y por eso se diseñó un diagrama de lo que realmente significa el teorema.  Entonces, utilizando esos cuadrados, ¿cómo podemos verificar que el teorema de Pitágoras es verdad?

Estudiante: Bien, si A2+B2=C2,  ¿no sería entonces igual a decir que  (el cuadrado sobre el lado A)+(el cuadrado sobre el lado B)=(al cuadrado sobre el lado C)? 

Maestro: Sí, pero ¿qué parte del cuadrado?  ¿El perímetro?

Estudiante: La verdad no sé. 

Maestro: Regresemos al cuadrado que dibujó en el papel de graficar.  Antes de empezar usted dijo que 4 elevado al cuadrado era 16, y eso es correcto.  Entonces ¿el perímetro del cuadrado que usted dibujó es 16?

Estudiante: ¡Sí!

Maestro: Asegúrese de que esto sea correcto, ensayándolo con el cuadrado que dibujó de tres elevado al cuadrado.  ¿Cuál es el perímetro de ese cuadrado? 

Estudiante: Es 12, pero 3 elevado al cuadrado es 9. 

Maestro: Correcto, esto quiere decir que el hecho de que el perímetro del primer cuadrado  fuera igual al lado elevado al cuadrado, es una pura coincidencia.  La razón de que fuera así es porque cuatro elevado al cuadrado es igual a cuatro veces cuatro, que es el área,  y como la longitud del lado es 4, y hay cuatro lados, entonces la longitud del lado*4 = 4*4, que es el perímetro. Ya que sabemos entonces que la parte del cuadrado involucrada en el teorema de Pitágoras no es el perímetro. ¿Qué deberíamos ensayar ahora?

Estudiante: ¿Y qué pasa con el área?

Maestro: A ver, ensáyelo con el cuadrado de cuatro por cuatro.

Estudiante: ¡Es 16!  Pero verifiquémoslo con el cuadrado de tres por tres para asegurarnos  de que es correcto. 

Maestro: Buena idea.

Estudiante: El área del cuadrado de tres por tres es nueve.  ¡Sí funciona!

Maestro: Ya hemos descubierto que un número elevado al cuadrado es igual al área de su cuadrado.  ¿Entonces qué podemos esperar del teorema de Pitágoras? 

Estudiante: Sería (el área del cuadrado construido sobre el lado A)+(el área del cuadrado construido sobre el lado B)=(al área del cuadrado construido sobre el lado C).

Maestro: Perfecto.  Si observan en el lado izquierdo de las figuras, en la zona marcada como “área”,  verán el área de los cuadrados.  ¿Qué notan?

Estudiante: Cuadrado AC+Cuadrado BC=Cuadrado AB.

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Maestro: Puesto que el área está marcada como “área” se puede decir que los números en esa área son todos áreas.  Entonces ¿funciona el teorema de Pitágoras?

Estudiante: ¡Sí! 

Maestro: Pero tengan cuidado, ya hemos descubierto que utilizar solamente una parte de los datos nos puede conducir al error.  Cambien  las longitudes de los lados AC y BC, utilizando los cursores debajo del diagrama.  ¿Funciona?

Estudiante:   ¡Sí!  No puedo encontrar ningún caso en el que no funcione. 

Maestro: bien. Ahora que sabemos que el teorema de Pitágoras funciona y por qué funciona, empecemos a resolver algunos problemas utilizándolo.  ¿Recuerdan para qué dije que lo usábamos? 

Estudiante: Para encontrar la longitud de un lado, cuando conocemos los otros dos lados de un triángulo. 

Maestro: Casi correcto, pero esto no funciona con toda clase de triángulos.  ¿Con qué tipo de triángulo funciona?

Estudiante: ¡Ah, sí; es verdad!: Solamente  funciona con triángulos rectángulos.

Maestro: Ahora les voy a dar la longitud de dos lados, y ustedes me dirán cuál es la longitud del tercer lado, usando el teorema de Pitágoras.   Si utilizan una calculadora será más fácil.

Estudiante: Estoy listo, ya tengo una calculadora.

Maestro: Les daré los dos catetos y ustedes deberán encontrar la hipotenusa.  Un cateto es 5 y el otro es 7.  ¿Cuál es la hipotenusa? 

Estudiante: 52 es 25 y 72 es 49, entonces 25+49=74.  ¡La hipotenusa es 74!
Maestro: No exactamente, porque recuerden que eso es A2+B2=C2.  La primera mitad, A2+B2,  la hicieron bien, pero al llegar a 74 se olvidaron que 74 es igual solamente a C2 y no a C.  Entonces ¿qué hay que hacer para terminar de resolver este problema? 

Estudiante: ¿Elevar  74 al cuadrado?

Maestro: No, piénsenlo en forma algebraica, 74=C2, entonces ¿cómo obtendrían C?

Estudiante: ¡Pues sacando la raíz cuadrada de cada lado!

Maestro: Muy bien, entonces terminen de resolver el problema.

Estudiante: La raíz cuadrada de 74 es 8.6, entonces C=8.6.

Maestro: ¡Magnífico, ensayemos otra!  Ahora los cateos son 3 y 4.

Estudiante: 32 es 9 y 42 es 16, entonces 9+16=25.  La raíz cuadrada de 25 es 5.

Maestro:   Buen trabajo.  ¿Entonces ahora entienden cómo sacar la longitud de la hipotenusa, cuando conocen la longitud de sus catetos?

Estudiante: ¡Sí! ¿Y ahora qué sigue?

Maestro: Ahora trataremos de encontrar la longitud de un cateto cuando conocemos la longitud del otro cateto y la de la hipotenusa.  Para esto necesitaremos un poco de álgebra.  Inténtenlo primero por su cuenta, y luego yo les ayudo si lo necesitan.  Entonces los datos son 15 y 7.

Estudiante: ¿Cuál es la hipotenusa y cuál es el cateto?

Maestro:   Siempre la hipotenusa es el lado mayor de un triángulo rectángulo.  Esto es debido a que el lado mayor será el opuesto al ángulo mayor,  el segundo lado mayor será el opuesto al segundo ángulo mayor y el lado menor será el opuesto el ángulo menor.  Sabemos que un triángulo tiene solamente 180 grados y que la hipotenusa tiene que ser el lado mayor, puesto que el tamaño máximo de un ángulo en un triángulo rectángulo, diferente al ángulo recto, es de 89.999.  Entonces, si el ángulo recto tiene 90 grados, y  el máximo que cualquier otro ángulo puede tener es 89.999, y  el lado opuesto al ángulo recto tiene que ser el lado mayor, también llamado la hipotenusa,  ¿me pueden decir si 15 o 7 es la longitud de la hipotenusa?

Estudiante: Entonces tiene que ser 15.

Maestro: Exacto, porque 15 obviamente es mayor que 7.  Ahora ¿pueden resolverlo para el otro cateto?

Estudiante: Bien, eso sería 72 es 49 y 152 es 225.  Entonces eso sería 49+B2=225.  ¿Le saco la raíz cuadrada a 225?

Maestro: No, eso sería en caso que ya tuviéramos los dos catetos, y aquí es donde debemos emplear el álgebra.  ¿Cómo dejaríamos la B sola en un lado?

Estudiante: Pues a 225 le restaríamos 49, lo cual nos daría 176.  Entonces ¿B es igual a 176?

Maestro: No, porque recuerden que la hipotenusa es el lado mayor y que la hipotenusa es 15, y 176 es mucho mayor que 15.  Necesitan terminar de despejar  B.

Estudiante: ¡Ah, sí; claro! Ahora le debo sacar la raíz cuadrada a 176

Maestro: Correcto, entonces, ¿ cuál es la respuesta?

Estudiante: Es 13.266.

Maestro: ¡Estupendo trabajo!  Ahora ya saben qué es un triángulo rectángulo, qué es el teorema de Pitágoras, por qué el teorema de Pitágoras funciona, y cómo resolver problemas utilizando el teorema de Pitágoras.  ¿Tienen alguna pregunta?

Estudiante: Usted me enseñó cómo encontrar el tercer lado si conozco los catetos uno y dos, y cómo encontrar el tercer lado si conozco la hipotenusa y el primer cateto, pero ¿cómo lo hago si conozco la hipotenusa y el segundo cateto?
Maestro: Se sigue el mismo procedimiento que cuando usted conoce la hipotenusa y el primer lado.  Las variables A y B son intercambiables si las mantiene constantes.

Estudiante: ¡Ya entiendo!  Los catetos son iguales así es  que no hay que tener estrategias diferentes para encontrarlos.

Maestro: Correcto.  ¿Alguna otra pregunta?

Estudiante: No.

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