Inicio Discusiones Trigonometría Graficar funciones en el sistema de coordenadas polares

Graficar funciones en el sistema de coordenadas polares

Una discusión sobre graficar funciones en el sistema de coordenadas polares

Mentor: Ya discutimos sobre graficar puntos en el plano de coordenadas polares. Bueno, así como podemos graficar funciones en el plano Cartesiano, podemos graficar funciones en el plano de coordenadas polares.

Estudiante: ¿Cómo se ve una ecuación en coordenadas polares?

Mentor: En el sistema Cartesiano, generalmente x es la variable independiente y y es la variable dependiente. En el sistema de coordenadas polares, theta, simbólicamente θ, generalmente es la variable independientes y r es la variable dependiente. 

Estudiante:¿No es como al revés del sistema Cartesiano? Quiero decir, en coordenadas polares se cita primero la variable dependiente y en el sistema Cartesiano la variable dependiiente es la segunda del par ordenado.

Mentor: Buena observación. Definitivamente es algo para tener en cuenta. ¿Por qué no tratamos de graficar una ecuación bien simple en la que la variable dependiente, r, es constante, Digamos r=3. La gráfica sería una circunferencia con radio de 3 unidades, ¿Sabes por qué?

Estudiante: ¡Sí, claro! Es así, porque r representa el radio. Y si r es 3 para todos los valores del ángulo, entonces se tiene que formar una circunferencia.

Mentor: ¿Y con qué ecuación crees que se crearía una recta?

Estudiante: Si un valor constante de r crea una circunferencia, entonces yo creo que un valor constante de theta daría una recta. ¿Sería θ=π/6 una recta?

Mentor: Sí, buen trabajo. Ahora consideremos una ecuación que sí tiene en ella la variable independiente, θ, digamos r=sin(θ). ¿Qué harías para graficar esta ecuación?

 

Estudiante: Bueno, necesitaría encontrar r para varias medidas de ángulos, ¿no? Podría hacer una tabla, elegir valores de θ para evaluar y  remplazar θ por esos valores en la función para hallar mis pares de coordenadas. Entonces podría representarlos en una gráfica en polares.

 

Mentor: ¡Exacto!. Hay muchos tipos diferentes de ecuaciones que generan formas hermosas. Una función como  r=2+(3*sin(θ)) se llama un limaçon (se pronuncia "limazón") o caracol. ¿Cómo la graficarias?

Estudiante: Bueno, también empezaría creando una tabla de valores para θ. Luego uso estos valores de θ en la función para hallar los valores de r. Mi tabla se vería así: 

θ r=2+3*sin(θ)
0 2
π/6 3.5
π/4 4.12
π/3 4.60
π/2 5.00
2π/3 4.60
3π/4 4.12
5π/6 3.5
π 2.00
7π/6 .5
5π/4 -.12
4π/3 -.6
3π/2 -1.00
5π/3 -.60
7π/4 -.12
11π/6 .5
2.00

Estudiante: Entonces representaría los puntos en una gráfica polar, Los puntos graficados se verían así: 

Estudiante: Pero conectar estos puntos parece complicado. ¿Y si omitiera algunos valores importantes en mi tabla?

Mentor: Esa es una muy buena observación. Y es la razón por la que a menudo preferimos usar computadores dado que ellos pueden calcular muchos más puntos mucho más rápidamente que nosotros. Trata de graficar esta función usando la actividad Coordenadas Polares y observa qué te resulta. 

Estudiante: ¡Uao! ¡Es una gráfica muy bonita!  

 

Mentor: Buen trabajo. Una ecuación de la forma a ± b*sin(θ) o a ± b*cos(θ) generar un limaçon. Practica un poco más. Aún ecuaciones tan sencillas como sin(a*θ) o  cos(a*θ resultan interesantes. Juega con los valores de a y b, y mira qué pasa. Hay gráficas muy interesantes que resultan de graficar funciones trigonométricas en el sistema de coordenadas polares. 

Nice work. Any equation of the form of the formula a ± b*sin(θ) or a ± b*cos(θ) will create a limacon. Try a few more. Even simple equations like sin(a*θ) or cos(a*θ) can be interesting. Play with the values of a and see what happens. There are many interesting graphs you can make by plotting trigonometric functions in the polar coordinate system!