Discusiones

Deducción de cónicas

Ayuda en la comprensión de las deducciones geométrica y algebraica de las secciones cónicas.

Estudiante: Yo entiendo los conceptos relacionados con secciones cónicas, pero ¿Cómo puedo graficarlos algebraicamente? ¿Hay ecuaciones que deban memorizarse?

Mentor: Es cierto que puedes memorizar las ecuaciones, pero son bien complicadas y las cuatro son tan parecidas que es fácil confundirse. Te aseguro que te irá mucho mejor si deduces tú mismo las ecuaciones.

Estudiante: Sería muy bueno comprender lo que hay  en el fondo de estas ecuaciones. Así, si las olvido en alguna prueba, las puedo deducir sin problema.

Mentor: ¡Exactamente! Comencemos con la más simple de estas ecuaciones, la circunferencia.  ¿Cuál es la definición geométrica de circunferencia? (no la definición como sección cónica). 

Estudiante: Una circunferencia son todos los puntos que están a una cierta distancia, r, de un punto dado. 

Mentor: De acuerdo. Podrías decir, entonces, que la distancia de cualquier punto al centro es siempre la misma. ¿Podrías usar el Teorema de Pitágoras para calcular esa distancia? 

Estudiante: Bueno, podríamos trazar rectas desde su centro hasta un punto sobre  la circunferencia y calcular su longitud, formando a partir de ellas triángulos rectángulos, así: 

Mentor: ¡Muy bien!  Ahora, si decimos que el centro de la circunferencia está en un punto (h, k) y que (x, y) es el punto sobre la circunferencia, ¿podrias encontrar una ecuación para el radio r? 

Estudiante: Bueno, primero tendríamos que encontrar la longitud de cada lado. La longitud del lado horizontal sería la diferencia en los valores de x entre el centro y el punto sobre la circunferencia, es decir, x - h. Igualmente, la longitud del lado vertical sería la diferencia en los valores de y, es decir, y - k

Mentor: ¡Bien! ¿Cuál es, entonces, la longitud del radio?

Estudiante: La longitud del radio es   =  + , por lo tanto, sería:

Mentor: ¡Precisamente!  Ahora, ¿qué pasa si usamos un punto diferente sobre la circunferencia?

Estudiante: Obviamente, x and y serían diferentes, pero el centro del círculo, (h, k), y el radio r son los mismos.  Entonces, ¿la ecuación no sería la misma que la del primer punto?

Mentor: ¡Claro que sí!  Tu ecuación es, de hecho, la ecuación general de la circunferencia de centro el punto (h, k) y radio r

Estudiante: ¡Uao! ¿Las ecuaciones de las otras tres secciones cónicas también se determinan a partir de sus definiciones geométricas? 

Mentor: Si; en efecto, así fue como se llegó a las ecuaciones originalmente. Veámoslo en el caso de la elipse. Pero antes, reescribamos la ecuación de la circunferencia dividiendo ambos lados por :

Mentor: Ahora, si miramos la gráfica de esta circunferencia, ¿puedes decirme cuánto mide el eje horizontal, en términos del radio r?  

Estudiante: Naturalmente, es igual al diámetro, que es 2r

Mentor: Bien. ¿Puedes ahora justificar tu respuesta algebraicamente?

Estudiante: Bueno, si   y = k, entonces la ecuación se reduce a:

---> 

Mentor: ¡Oh-oh! Creo que olvidaste algo sobre sacar raiz cuadrada...

Estudiante:¡Ah, sí! Tengo que incluir

Mentor: Sí, en este caso el doble signo es particularmente importante, porque los dos puntos están sobre la circunferencia. 

Estudiante: Correcto, porque entonces la distancia entre los dos puntos es   r - (- r) = 2 r, que es la longitud del eje horizontal. 

Mentor: ¡Bien! Ahora, ¿puedes encontrar la longitud del eje vertical algebraicamente? 

Estudiante: Seguro. Cuando  x = h, la ecuación se reduce a :

Estudiante:  Lo cual da como resultado una longitud de 2 r, lo mismo que el eje horizontal. 

Mentor: ¡Absolutamente correcto!  En una circunferencia todos los diámetros son iguales, asi que tanto x - h como  y - k están divididos por , donde 2 r es la longitud de cualquiera de los ejes.  Pero, ¿ y qué sucede cuando se trata de una elipse?

Estudiante: Humm,  una elipse es básicamente una circunferencia,  sólo que uno de los ejes es más largo que el otro.  Asi que en lugar de dividir los dos términos en  x y y por  , tal vez podriamos dividirlos por  y , con lo cual tendriamos  2 a para el eje horizontal y 2 b para el eje vertical. 

Mentor: ¡Exacto!  Entonces si y = k, tendríamos x - h = ±a, y si  x = h, tendríamos y - k = ±b.

Mentor: Ahora, consideremos una hipérbola. Aun cuando su gráfica se ve muy diferente de la del círculo o la elipse, apuesto a que puedes encontrar la ecuación a partir de la definición geométrica.  

Estudiante: Bueno, dado que una hipérbola se define como todos los puntos tales que la diferencia entre sus distancias a dos focos es la misma, es básicamente una elipse volteada de adentro hacia afuera.   

Mentor: Correcto. En efecto, si graficas una elipse y una hiperbola en la misma gráfica (con las mismas constantes) obtienes algo como esto:

Estudiante: En tal caso, creo que la ecuación sería precisamente así:

o

Mentor: ¡Precisamente! Me gusta mucho que hayas recordado que la sustracción puede ir en ambos lados. En efecto, esas ecuaciones definen, respectivamente,  una hipérbola que se abre horizontalmente y una hipérbola que se abre verticalmente,  

Estudiante: Si; eso tiene sentido. ¿Y con respecto a una parábola? ¿Se relaciona con las otras?

Mentor: Sí; geométricamente una parábola se define como un conjunto de puntos equidistantes de un foco y de una directriz. Entonces, usando nuevamente el Teorema de Pitágoras, si el vértice de la parábola está en el punto (h, k) esta ecuación parece razonable: 

Mentor: ¿Puedes ver si esta ecuación funciona?

Estudiante: Bueno, la ecuación se puede simplificar

 ---> -->

Estudiante: ¡Espere un momento! Esto no puede ser cierto; esa es la ecuación de una recta vertical. 

Mentor: Ciertamente, esto no es correcto. ¿Qué puede estar mal en mi ecuación original 

Estudiante: Me parece que el  (y - k)² de la izquierda no es el mismo (y - k)²  de la derecha. 

Mentor:¡Bien pensado! La directriz y el foco no están a la misma distancia vertical desde cada punto, por lo tanto, no deben tener el mismo término en la ecuación. Ahora que tenemos la ecuación correcta, ¿cómo podemos resolver esta ecuación para y

Estudiante:  Parece que debemos desarrollar los binomios en y para despejar y  después

 

Mentor: ¡Bien! Ahora despejamos  y, con lo cual obtenemos: 

¡Pero esta ecuación es demasiado complicada! ¿Cómo podemos simplificarla un poco?

Estudiante: Humm...Yo no veo cómo simplificar el término con x puesto que tenemos cuatro variables diferentes, pero el otro término se puede factorizar para obtener: 

 

Mentor: ¡Exacto! Ahora, si hacemos  x = h, ¿qué obtenemos? Recuerda que la distancia desde cualquier punto de la parábola hasta el foco y la directriz es la misma.  

Estudiante:  Como la x- distancia  is cero, la y- distancia al foco y a la directriz debe ser la misma. Entonces,  y es la semisuma de p con q, esto es, y es el punto medio entre el foco y la directriz. En consecuencia, ¡y debe ser el vértice de la paráabola!

Mentor: Sí; realmente, así es: La coordenada y del vértice es precisamente la semisuma o promedio de los valores de y para el foco y la directriz. 

Estudiante: Qué bien! Entonces, ¿qué podemos hacer con la otra parte de la ecuación?

Mentor: Si suponemos que el vértice de la parábola está en (0,0), ¿puedes simplificar la ecuación?  

Estudiante:  Bueno, para que el vértice sea el punto medio entre el foco y la directriz necesitamos que  p = - q. Por lo tanto, la ecuación es

Mentor: ¡Exacto! En cualquier parábola, q es la distancia desde el foco o la directriz hasta el vértice. ¿Qué pasaría si el centro estuviera en (h, k) en lugar de (0, 0)? 

Estudiante:  Humm, puesto que sólo estamos desplazando la gráfica, la distancia foco/directriz hasta el vértice debería seguir siendo la misma. Por lo tanto la ecuación debería ser

Mentor: Exactamente; ahora tienes la ecuación general de la parábola.  

Sigue a Eduteka en Redes:

YouTube Facebook Twitter LinkedIn Instagram Gloogle+