Impirmir


Proyecto

álgebra ejemplo paso a paso

Descripción

ENCONTRARÁS UN A BREVE DESCRIPCIÓN DE LA CLASIFICACIÓN NUMÉRICA DE CONJUNTOS, LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS, PRODUCTO CARTESIANO Y LA CLASIFICACIÓN DE ALGUNAS FUNCIONES

Objetivos

Objetivos: Que el alumno:

 

1.      Conozca una breve semblanza de los números naturales hasta los números reales.

2.      Exprese conjuntos tanto en notación por comprensión (estructural) como por extensión.

3.      Distinga los conjuntos escritos, tanto por notación estructural como por extensión.

4.      Maneje las operaciones con conjuntos.

5.      Tenga la suficiente práctica de los conceptos de los objetivos del 1 al 4.

.

Area

Matemáticas - Álgebra

Edad

Sin especificación

Duración

Sesión 1:

Herramientas

  • Procesador de Texto

Recursos

SOLO NECESITAS PAPEL Y LÁPIZ PARA DESARROLLAR LAS ACTIVIDADES QUE SE TE DEJEN.

Requisitos

.

Actividades de Clase

Propósito

ENCONTRARÁS UN A BREVE DESCRIPCIÓN DE LA CLASIFICACIÓN NUMÉRICA DE CONJUNTOS, LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS, PRODUCTO CARTESIANO Y LA CLASIFICACIÓN DE ALGUNAS FUNCIONES

Duración

Actividad Docente

SE TE IRA EXPLEXPLICANDO CONCEPTOS CON EJEMPLO Y SE TE PEDIRA QUE REALICES TAREAS, TRABAJOS EXTRA Y ACTIVIDAES COMPLEMENTARIAS.

1.1. INTRODUCCIÓN

 

     Es impreciso decir cuándo aparecen en la historia de la ciencia los primeros números, sin embargo, se tiene conocimiento pleno de que éstos fueron los llamados números naturales (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...).

 

     Cuando el hombre dejó de ser nómada, es decir, de ir de un lugar a otro, para convertirse en sedentario; éste tuvo la necesidad de contar, ya que ahora podía cultivar la tierra y con lo que recogía de la cosecha también podía dedicarse al comercio que evolucionó hasta llegar al que actualmente conocemos.

 

     A partir del comercio, el hombre primitivo desarrolló con el paso del tiempo nuevas habilidades para contar. Posteriormente el hombre fue representando la cantidad que iba contando mediante símbolos (o también denominada nomenclatura hoy en día). Estos símbolos o números fueron evolucionando hasta llegar a los que actualmente conocemos como números arábigos.

 

     En la antigüedad, al hombre sólo le eran indispensables los números que hoy conocemos como números naturales y que se representan con el símbolo .

 

            Una vez constituida la civilización como tal, el hombre tuvo la necesidad de utilizar números cada vez más grandes; fue así como los hombres de la antigua civilización de Grecia, dieron a conocer al mundo el concepto de infinito. En aquella época quien hablaba o utilizaba dicho concepto de infinito era porque tenía un alto grado de abstracción. El concepto de infinito era por tanto considerado como algo inalcanzable, simplemente por el hecho de no poderlo asociar con su vida cotidiana.

 

     Es importante mencionar que los números enteros negativos aparecieron por vez primera cuando los algebristas se ocuparon de resolver ecuaciones algebraicas. Por otra parte la civilización China y la civilización India, ya habían adaptado a su cultura los números enteros negativos. Mientras tanto, la civilización de Grecia no aceptaba como tales la existencia de los números enteros negativos, por la sencilla razón de que ellos resolvían todo mediante el uso de la geometría.

 

     Sólo hasta que el genial GIROLAMO CARDANO, dio a conocer su obra en 1545 Ars magna, los números enteros negativos fueron un eslabón más de la matemática.

 

     Los números enteros negativos son de una época más reciente que los números racionales o como comúnmente se conocen “fracciones comunes”. Lo anterior se puede constatar ya que se han encontrado plasmados dichos números racionales en el papel papiro que utilizaba la civilización egipcia.

 

     La civilización antigua de los griegos utilizó los números irracionales desde el siglo VII a.c., sobre todo cuando hacían cálculos geométricos, empero, no era cosa sencilla buscar métodos eficaces para construir a los números irracionales a partir de los números racionales. En el siglo XIX el matemático Richard Dedekind, recopiló información sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerándolos juntos, hoy en día constituyen el conjunto de números reales.

 

     Otro gran matemático Guiseppe Peano dio cinco postulados en el año de 1889, hoy en día se utilizan mucho cuando se estudia el tema de Inducción Matemática, gracias a estos cinco postulados o axiomas, éstos hoy sirven como base para la construcción del campo de los números reales ( ) y que se analizarán más adelante.  

    

     En la actualidad el conjunto de los números reales se puede estudiar básicamente desde dos conceptos diferentes:

 

1.- Método Constructivo: Este método en lo particular me gusta mucho, ya que la edificación de los números se empiezan a partir del conjunto de los números naturales ( ) , posteriormente se introducen al conjunto de los números enteros ( ), en seguida se plantea la necesidad de otros números que son el conjunto de los números racionales ( ) y por último se unen dicha edificación el conjunto de los números irracionales ( ), para así obtener la construcción del último piso del edificio de números, el cual, es el conjunto de los números reales ( ).

 

2.- Método Axiomático: En este método se empieza al revés, es decir, se toma como base al conjunto de los números reales ( ). Se establecen algunos axiomas, y a partir de éstos se desprenden propiedades que dichos números cumplen.

 

     En este libro solo haré referencia al primer método, ya que en lo personal me gusta más dicho método, sólo por el hecho de cómo fueron apareciendo históricamente los números en la vida del hombre.

    

     Existen diversas definiciones de lo que es un conjunto, aquí emplearé la siguiente:

    

     Conjunto: Es una colección de objetos o elementos bien definidos tal que tenemos un criterio de decisión para saber si ese objeto o elemento pertenece o no a dicha colección.

 

Actividad Estudiante

SE TE PEDIRA QUE REALICES TAREAS, TRABAJOS EXTRA Y ACTIVIDAES COMPLEMENTARIAS..

1.1. INTRODUCCIÓN

      Es impreciso decir cuándo aparecen en la historia de la ciencia los primeros números, sin embargo, se tiene conocimiento pleno de que éstos fueron los llamados números naturales (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...).

      Cuando el hombre dejó de ser nómada, es decir, de ir de un lugar a otro, para convertirse en sedentario; éste tuvo la necesidad de contar, ya que ahora podía cultivar la tierra y con lo que recogía de la cosecha también podía dedicarse al comercio que evolucionó hasta llegar al que actualmente conocemos.

      A partir del comercio, el hombre primitivo desarrolló con el paso del tiempo nuevas habilidades para contar. Posteriormente el hombre fue representando la cantidad que iba contando mediante símbolos (o también denominada nomenclatura hoy en día). Estos símbolos o números fueron evolucionando hasta llegar a los que actualmente conocemos como números arábigos.

      En la antigüedad, al hombre sólo le eran indispensables los números que hoy conocemos como números naturales y que se representan con el símbolo .

             Una vez constituida la civilización como tal, el hombre tuvo la necesidad de utilizar números cada vez más grandes; fue así como los hombres de la antigua civilización de Grecia, dieron a conocer al mundo el concepto de infinito. En aquella época quien hablaba o utilizaba dicho concepto de infinito era porque tenía un alto grado de abstracción. El concepto de infinito era por tanto considerado como algo inalcanzable, simplemente por el hecho de no poderlo asociar con su vida cotidiana.

      Es importante mencionar que los números enteros negativos aparecieron por vez primera cuando los algebristas se ocuparon de resolver ecuaciones algebraicas. Por otra parte la civilización China y la civilización India, ya habían adaptado a su cultura los números enteros negativos. Mientras tanto, la civilización de Grecia no aceptaba como tales la existencia de los números enteros negativos, por la sencilla razón de que ellos resolvían todo mediante el uso de la geometría.

      Sólo hasta que el genial GIROLAMO CARDANO, dio a conocer su obra en 1545 Ars magna, los números enteros negativos fueron un eslabón más de la matemática.

      Los números enteros negativos son de una época más reciente que los números racionales o como comúnmente se conocen “fracciones comunes”. Lo anterior se puede constatar ya que se han encontrado plasmados dichos números racionales en el papel papiro que utilizaba la civilización egipcia.

      La civilización antigua de los griegos utilizó los números irracionales desde el siglo VII a.c., sobre todo cuando hacían cálculos geométricos, empero, no era cosa sencilla buscar métodos eficaces para construir a los números irracionales a partir de los números racionales. En el siglo XIX el matemático Richard Dedekind, recopiló información sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerándolos juntos, hoy en día constituyen el conjunto de números reales.

      Otro gran matemático Guiseppe Peano dio cinco postulados en el año de 1889, hoy en día se utilizan mucho cuando se estudia el tema de Inducción Matemática, gracias a estos cinco postulados o axiomas, éstos hoy sirven como base para la construcción del campo de los números reales ( ) y que se analizarán más adelante.  

         En la actualidad el conjunto de los números reales se puede estudiar básicamente desde dos conceptos diferentes:

 1.- Método Constructivo: Este método en lo particular me gusta mucho, ya que la edificación de los números se empiezan a partir del conjunto de los números naturales ( ) , posteriormente se introducen al conjunto de los números enteros ( ), en seguida se plantea la necesidad de otros números que son el conjunto de los números racionales ( ) y por último se unen dicha edificación el conjunto de los números irracionales ( ), para así obtener la construcción del último piso del edificio de números, el cual, es el conjunto de los números reales ( ).

2.- Método Axiomático: En este método se empieza al revés, es decir, se toma como base al conjunto de los números reales ( ). Se establecen algunos axiomas, y a partir de éstos se desprenden propiedades que dichos números cumplen.

     En este libro solo haré referencia al primer método, ya que en lo personal me gusta más dicho método, sólo por el hecho de cómo fueron apareciendo históricamente los números en la vida del hombre.

   Existen diversas definiciones de lo que es un conjunto, aquí emplearé la siguiente:

     Conjunto: Es una colección de objetos o elementos bien definidos tal que tenemos un criterio de decisión para saber si ese objeto o elemento pertenece o no a dicha colección.

1.2. CLASIFICACIÓN NUMÉRICA

 a) Conjunto de números Naturales:

  PERDÓN ALGUIN ME PUEDE AYUDAR A DECIRME COMO INSERTO CARACTERES MATEMÁTICOS, YO LOS TENGO EN MI HOJA DE WORD BIEN HECHO Y AQUI NO PUEDO COPIARLOS Y PEGARLOS.

     Este conjunto se denota por , es decir, su escritura matemática se representa con el símbolo  y de aquí en adelante cuando se ponga el símbolo , se entenderá que se está haciendo referencia al conjunto de los números naturales.

En la actualidad hay autores que consideran al  incluyendo al número cero, es decir, de la forma , por lo que cabe señalar que también está correcto dicho conjunto; pero en lo particular y de hecho en todo este texto siempre me voy a referir al conjunto de números naturales como al conjunto escrito de la forma , es decir, no incluiré al número cero, por la sencilla razón de que el hombre cuando tuvo la necesidad de contar, éste empezó a contar diciendo uno, dos, tres, etcétera, y no empezó a contar cero, uno, dos, tres, etcétera; además el número cero fue introducido posteriormente por la cultura maya. Los puntos suspensivos indican que la numeración continúa indefinidamente.

 

     Cabe señalar que infinito no es un número y se representa mediante el símbolo .

 

     El conjunto de los números naturales, está escrito en notación de extensión. Esta notación es aquella donde se enlistan los elementos del conjunto al que se está haciendo referencia. En este caso, se anotan unos cuántos números de dicho conjunto y posteriormente se agregan puntos suspensivos para indicar que la numeración continúa indefinidamente.

     Para que el ser humano pueda contar, se necesita tener un patrón como base para poder comparar las cosas y en este caso es “la escala de los números naturales”, conocida en todo el mundo

 

     Contar es en esencia, comparar dos o más elementos de la misma especie mediante una referencia o patrón. Gracias a ello podemos decir, tengo 20 sillas, 2 flores, tres pesos, etc.

    

     Cuando se cuenta un conjunto de objetos, lo que se hace es asociar a un objeto con un número, mediante una flecha que indique ambas direcciones, es decir, tanto la del objeto como la del número.

 

Así, si desea contar las letras del nombre propio “HUGO”, se establece la correspondencia:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se observa que tiene cuatro letras, por lo que el último número con el que se establece la correspondencia, indicará la cantidad de objetos que tiene el conjunto. En este caso la palabra HUGO tiene 4 letras.

 

     Para abundar sobre este concepto, se considera un autobús donde hay asientos y personas. Para saber si la cantidad de asientos es igual a la de personas, bastará con pedir a éstas que se sienten. Si sobran asientos o personas sabremos que hay más de los primeros o más de las segundas, pero si no sobran asientos y todas las personas están sentadas, se dirá que hay tantos asientos como personas, esto es, existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de asientos de que dispone el autobús y el conjunto de personas que se encuentran en el mismo.

 

b) Conjunto de números Enteros:

 

 

 

 

 

     La primera notación del conjunto de los números enteros, es una notación escrita por extensión como expliqué con anterioridad, mientras que la segunda notación para éste mismo conjunto es una notación escrita por comprensión o notación estructural1.

 

 

 

                  

                 elemento genérico

 

c) Conjunto de números Racionales:

 

 

 

d) Conjunto de números Irracionales:

 

={  no es racional, es decir, que no proviene del    cociente de dos enteros}

 

         Ejemplos

 ;   ; 

 

e) Conjunto de números Reales:

 

Propósito

Duración

Actividad Docente

Actividad Estudiante

Evaluación

.

Notas

.

Créditos

Autor: Julio Eduardo Padilla Pineda

Fecha de publicación : 2011-07-25


Responsive image