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La circunferencia

Introducción


La circunferencia es una linea curva, plana y cerrada. Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan
 de otro punto fijo y coplanar llamado centro.

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perimetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilindrica, o como un poligono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

Area y Asignatura

Matemáticas - Geometría

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Tarea

CIRCUNFERENCIA

  • Circunferencia con centro en el origen
  • Circunferencia con centro desplazado del origen
  • Ecuación general de la circunferencia
  • Ejemplos de ejercicios.

Procesos

Circunferencia con centro en el origen.

              La circunferencia con centro en origen del sistema cartesiano y radio igual a R es el Lugar Geométrico de todos los puntos que satisfacen la condición de que la suma del cuadrado de la distancia a cada eje coordenado es igual al cuadrado del radio:

              LG = {(X; Y)/X2 + Y2 = R2}   Circunferencia con centro en el origen y radio = R.

 

 

 

 Circunferencia con centro desplazado del origen.

              Si la circunferencia tiene el centro desplazado del origen del plano cartesiano, en un punto C(h; k), el Lugar Geométrico de la misma estará dado por el conjunto de puntos: LG = {(X; Y)/(X – h)2 + (Y – k)2 = R2}.

              Circunferencia con centro en C(h; k) y radio R.

              La ecuación de la circunferencia es de segundo grado en X e Y. Pero no toda ecuación de segundo grado en X e Y corresponde a una circunferencia.

 

 

Ecuación general de la circunferencia.

 

              La ecuación general de la circunferencia es de la forma: X2 + Y2 + DX + EY + F = 0

             

              Análisis del término (D2 + E2 4F):

              (D2 + E2 4F) < 0               R < 0: circunferencia imaginaria.

 

              (D2 + E2 4F) = 0               R = 0: tenemos un Punto.

 

              (D2 + E2 4F) > 0               R > 0: Circunferencia real.

 

 

Evaluación

Escribir la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y

 

1.1.                 Radio  R = 5.           X2 + Y2 = 25.

1.2.                 Radio R = 10.          X2 + Y2 = 100.

 

Encontrar el conjunto de todos los punto P(X; Y) tales que la suma de los cuadrados de las distancias de P a los ejes coordenados sea igual a 36.

 

              Distancia de P(X; Y) al eje Y:        X.

              Distancia de P(X; Y) al eje X:        Y

              Suma de los cuadrados de las distancias:   X2 + Y2 = 36

 

Encontrar la Ecuación de la Circunferencia con centro en el punto C (2; 3)  y radio  R = 4.

              (X – 2)2 + (Y – 3)2 = 16.                 X2 + Y2 – 4X – 6Y – 3  = 0

 

Encontrar las coordenadas de C (h; k) y R de la circunferencia:

                            X2 + Y2 + 4X + 8Y – 29 = 0. 

             

              Agrupamos términos: (X2 + 4X) + (Y2 + 8Y] – 29 = 0.     Completamos cuadrados:

              (X + 2)2 – 4 + (Y + 4)2  – 16 – 29 = 0

 

              (X + 2)2  + (Y + 4)2 = 49

 

              Coordenadas del centro: C(– 2; – 4)                      R = 7.
Encontrar las ecuaciones de las circunferencias que pasen por los puntos:     A(1; 2) y  B(3; 4) y sean tangentes a la recta: L: 3X + Y 3 = 0
Encontrar la Ecuación de la Circunferencia con centro en el punto C (2; 3)  y radio  R = 4.
              (X – 2)2 + (Y – 3)2 = 16.                 X2 + Y2 – 4X – 6Y – 3  = 0
Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasen por los puntos A(2; 3) y B(3; 6) y sean tangentes a la recta: L: 2X + Y – 2 = 0.

Notas

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Créditos

Autor: Proyecto creado por Gloria Elizabeth Vera Benitez - utilizando a eduteka.org
Fecha de publicación: 2011-05-23 00:00:00
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