Lecciones

Geometría de los fractales

Aborda la construcción de fractales mediante el corte de figuras planas.

Esta actividad complementa la lección Infinito, auto similaridad y repetición , presentando a los estudiantes otros fractales clásicos, el Triángulo y el Tapete de Sierpinski, involucrando esta vez iteraciones con una figura plana.

Aborda la construcción de fractales mediante el corte de figuras planas.

Las actividades y las discusiones de esta lección siguen los estándares del CNMM :

Álgebra

Entender patrones, relaciones y funciones.

  • Representar, analizar y generalizar diferentes patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando es posible, con reglas simbólicas.
  • Relacionar y comparar diferentes formas de representación de una relación.

Utilizar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.

  • Modelar y resolver problemas contextualizados, usando diferentes representaciones como gráficos, tablas y ecuaciones.

Geometría

Aplicar transformaciones y usar simetría para analizar situaciones matemáticas.

  • Describir tamaños, posiciones y orientaciones de figuras a las que se han aplicado transformaciones no formales como: saltos, giros, deslizamientos y alargamientos o acortamientos.
  • Examinar congruencia, semejanza y simetría lineal o rotacional de objetos que se transforman.

Usar visualización, razonamiento espacial y modelos geométricos para resolver problemas.

  • Dibujar objetos geométricos con propiedades especificadas, tales como longitud de los lados o las medidas de los ángulos.
  • Usar modelos geométricos para representar y explicar relaciones numéricas y algebraicas.
  • Reconocer y aplicar ideas y relaciones geométricas en áreas distintas a las matemáticas, como el arte, la ciencia y la vida diaria.
  • Geometría: Los estudiantes deben ser capaces de:
    • Reconocer y dibujar objetos como rectas, rectángulos, triángulos y cuadrados.
    • Entender los conceptos de área y perímetro y usar las fórmulas correspondientes.
  • Aritmética : Los estudiantes deben ser capaces de:
    • Construir fracciones a partir de relaciones entre tamaños.
    • Manipular fracciones en sumas y multiplicaciones.
  • Tecnológica: Los estudiantes deben ser capaces de:
    • Hacer con el ratón del computador operaciones básicas como señalar, hacer clic y arrastrar.
    • Utilizar navegadores, Netscape por ejemplo, para trabajar con las actividades.

Los estudiantes necesitarán:

Estas actividades se trabajan mejor en grupos de 2 o 3 personas. El tiempo necesario para que los estudiantes descubran los patrones se puede reducir si se hacen una o dos iteraciones de cada curva con toda la clase antes de que los grupos trabajen individualmente. Presupueste unos 15 a 20 minutos para cada exploración. La discusión siguiente requiere que el estudiante haya trabajado con las actividades de la lección Infinito, auto-similaridad y recursión .

1. Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores y que sea pertinente para este caso, y haga que ellos comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección:

  • ¿Alguien recuerda lo que significa infinito?
  • ¿Alguien puede explicar lo que es una iteración?
  • ¿Quién de ustedes sabe qué es auto-similaridad?

2. Objetivos

Informe a los estudiantes qué estudiarán y qué aprenderán hoy. Dígales algo como:

  • Hoy ampliaremos nuestros conocimientos sobre fractales, auto-similaridad y reconocimiento de patrones presentes en fractales.
  • Usaremos computadores para aprender sobre estos conceptos, pero por favor no enciendan el computador ni pasen a la página correspondiente hasta cuando yo lo indique. Antes quiero mostrarles algo relacionado con esta actividad.

3. Aportes del maestro

  • Guíe a los estudiantes en varios pasos de la actividad El triángulo de Sierpinski. Ellos deben tomar nota de los patrones formados por las áreas de los triángulos individuales y por área total. Puede ser necesario dibujar dos o tres iteraciones antes de que el patrón numérico sea obvio.
  • Discuta el número de triángulos presentes en cada iteración; vea si alguno de los estudiantes identifica el patrón que lo establece.
  • Haga que los estudiantes discutan sobre lo que creen que pasará al área del Triángulo de Sierpinki a medida que el número de iteraciones sobrepasa la capacidad de calculo del computador. ¿Podrá llegar a ser cero el área del triángulo?

4. Práctica guiada

5. Práctica independiente

  • Usted puede considerar la conveniencia de entregar a los estudiantes las hojas de trabajo de estos “simulacións” para que trabajen sobre ellas.
  • Alternativamente, puede hacer que los estudiantes calculen las áread del Tapete y del Triángulo de Sierpinski en diferentes iteraciones.

6. Cierre

  • Reúna la clase para discutir los resultados. Cuando los estudiantes hayan compartido sus experiencias, haga un resumen de la lección.

Esta lección se puede reorganizar de varias maneras:

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes habrán visto algunos de los fractales clásicos de figura plana, los cuales podrán comparar con los de la lección Infinito, auto-similaridad y recursión . La lección siguiente, Fractales y el juego del caos , muestra al estudiante cómo, a partir de ideas diferentes, se pueden obtener fractales del mismo tipo.

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