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Proyecto

proyecto 1

Descripción

el proyecto tratara de los métodos para resolver ecuaciones con dos incógnitas, el fin principal es que los alumnos entiendas cada uno de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones y los puedan utilizar de forma óptima en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

objetivos:

  • conocer cada uno de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones
  • aplicar cada uno de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones

Objetivos

  • se espere que al final de la clase el alumno logre conocer y entender los métodos para resolver un sistema de ecuaciones, además que pueda lograr aplicar los métodos enseñados en la resolución de diversos ejercicios , para de este modo poder resolver de forma óptima un sistema de ecuaciones lineales de 2 incognitas.

Area

Matemáticas - Álgebra

Edad

14-15

Duración

Sesión 1:

durará dos horas.

Sesión 2:

90 minutos

Herramientas

  • Internet - Información
  • Fotografía/Video
  • Otras

Recursos

mira el siguiente idea para que te hagas una idea de lo que veremos 


https://www.youtube.com/watch?v=0mHCQYQGu04

analiza las siguientes imágenes y encuentra las coordenadas del punto de intersección de estas 


    

 

geogebra

ingresa al siguiente links, en el cual tendrás que ingresar 2 ecuaciones lineales y veras si estas se intersectan en algún punto.

https://tube.geogebra.org/material/simple/id/94771

Requisitos

  • conocimiento básico de álgebra
  • conocimiento del geogebra
  • saber resolver ecuaciones lineales
  • manejo básico del computador

Actividades de Clase

Propósito

en la primera sesión, será teórica, es decir el profesor lo que hará será enseñarles a los alumnos cada uno de los métodos que existen para poder resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

objetivos de aprendizaje:

conocer y entender los métodos para resolver un sistema de ecuaciones

 

Duración

durará dos horas.

Actividad Docente

el docente explicará cada uno de los métodos que se pueden utilizar para dar solución a un sistema de ecuaciones.

Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:

sistemas_ecuaciones017

forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El conjunto de ecuaciones:

sistemas_ecuaciones002

forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.

Por ejemplo,

sistemas_ecuaciones003

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2  (la  x  e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones sistema_ecuaciones001 es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).

Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí(tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

Lo que debemos hacer:

1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

3.- Resolver la ecuación resultante.

4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

Ejemplo:

Resolver

sistemas_ecuaciones004

           
Se despeja x en la segunda ecuación: 

x = 8 – 2y

Se sustituyen en la primera ecuación: 

3(8 – 2y) – 4y = – 6

Operando:

 24 − 6y − 4y = − 6

24 – 10y = – 6

− 10y = − 6 − 24

 − 10y = − 30

sistemas-ecuaciones005

Se resuelve:

y = 3

Se sustituye este valor en la segunda:

x  + 2(3) = 8

 x + 6 = 8

x = 8 – 6 = 2

Solución del sistema:

x = 2, y = 3

Método de reducción

Lo que debemos hacer:

1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.

2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.

3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.

4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

Resolver

sistemas_ecuaciones006

Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra  (la y).  Luego hacemos lo mismo con la y.


Se elimina la x

sistemas_ecuaciones007                

 

Se elimina la y:

sistemas-ecuaciones008

 

Método de igualación

Lo que debemos hacer:

1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

Resolver

sistemas_ecuaciones009
            
Despejamos x en la primera ecuación:

sistemas_ecuaciones010

Despejamos x en la segunda ecuación:

x = –1 – 2y

Igualamos ambas expresiones:

sistemas_ecuaciones011            
:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:

 x = 3 + 2(−1)

x = 3 − 2

x = 1

Solución del sistema:

x = 1, y = –1

Otro ejemplo:

Resolver, por el método de igualación, el sistema

sistemas_ecuaciones012

Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

sistemas_ecuaciones013

Igualamos ambas expresiones:

sistemas_ecuaciones014
Luego, resolvemos la ecuación:

sistemas_ecuaciones015

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

sistemas_ecuaciones016

Actividad Estudiante

el estudiante deberá leer y  entender la materia y si no la entiende revisar los links

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

Lo que debemos hacer:

1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

3.- Resolver la ecuación resultante.

4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

Ejemplo:

Resolver

sistemas_ecuaciones004

           
Se despeja x en la segunda ecuación: 

x = 8 – 2y

Se sustituyen en la primera ecuación: 

3(8 – 2y) – 4y = – 6

Operando:

 24 − 6y − 4y = − 6

24 – 10y = – 6

− 10y = − 6 − 24

 − 10y = − 30

sistemas-ecuaciones005

Se resuelve:

y = 3

Se sustituye este valor en la segunda:

x  + 2(3) = 8

 x + 6 = 8

x = 8 – 6 = 2

Solución del sistema:

x = 2, y = 3

 

 

Método de reducción

Lo que debemos hacer:

1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.

2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.

3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.

4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

Resolver

sistemas_ecuaciones006

Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra  (la y).  Luego hacemos lo mismo con la y.


Se elimina la x

sistemas_ecuaciones007                

 

Se elimina la y:

sistemas-ecuaciones008

 

 

 

Método de igualación

Lo que debemos hacer:

1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

Resolver

sistemas_ecuaciones009
            
Despejamos x en la primera ecuación:

sistemas_ecuaciones010

Despejamos x en la segunda ecuación:

x = –1 – 2y

Igualamos ambas expresiones:

sistemas_ecuaciones011            
:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:

 x = 3 + 2(−1)

x = 3 − 2

x = 1

Solución del sistema:

x = 1, y = –1

Otro ejemplo:

Resolver, por el método de igualación, el sistema

sistemas_ecuaciones012

Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

sistemas_ecuaciones013

Igualamos ambas expresiones:

sistemas_ecuaciones014
Luego, resolvemos la ecuación:

sistemas_ecuaciones015

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

sistemas_ecuaciones016

 

 

 

Propósito

Definir Actividad 2

el fin de esta sesión es que comprobar si es que los estudiantes lograron entender los métodos de resolución de ecuaciones lineales, para lo cual se le presentaran una serie de ejercicios resueltos y otros que tendrá que resolver.

objetivo de aprendizaje:

resolver sistemas de educaciones lineales, haciendo uso de algunos de los métodos enseñados.

Duración

90 minutos

Actividad Docente

en esta sesión el docente pasa prácticamente a segundo plano, pues en esta sesión el alumno debe mostrar que aprendió lo que se le enseño en la sesión 2, por lo cuál el docente esta de apoyo ante dudas que pudiesen aparecer en los alumnos a medida que se va a vanzando.

Actividad Estudiante

el primer paso a realizar será ver los ejercicios propuestos, para lo cual deberá ingresar a links que se entrega continuación.

http://http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/2201763/sistema_de_ecuaciones__d_.htm

posteriormente deberá ingresar al links que se entrega y resolver los ejercicios planteados-

http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/1968801/resuelve_las_ec.htm

Propósito

Duración

Actividad Docente

Actividad Estudiante

Evaluación

en esta parte el estudiante deberá haber revisado todo lo anterior, por lo cual responderá a 5 preguntas con las cuales se vera si logro los aprendizajes esperados o no, para lo cual deberá ingresar al siguiente links.

http://www.educaplay.com/es/recursoseducativos/1968801/resuelve_las_ec.htm

Créditos

Autor: Karen Vergara Cardenas

Fecha de publicación : 2015-11-17


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