El triángulo de Pascal

Las siguientes discusiones y actividades se han diseñado para guiar a los estudiantes en la exploración de los patrones numéricos y propiedades de fractales del Triángulo de Pascal. Se practican en forma novedosa operaciones de multiplicación y división larga.

Una vez finalizada la lección, los estudiantes:

• habrán aprendido sobre el Triángulo de Pascal, cómo construirlo y algunas de sus aplicaciones.
• habrán practicado las operaciones de multiplicación y división con enteros.

Álgebra

• Aritmética con polinomios y expresiones racionales
  • Empleo de identidades polinómicas para resolver problemas

Quinto grado

• Operaciones y pensamiento algebraico 
  • Analizar patrones y relaciones

Cuarto grado

• Operaciones y pensamiento algebraico 
  • Generar y analizar patrones

Sexto grado

• El sistema numérico
  • Calcular ágilmente con números de varios dígitos y hallar divisores comunes y múltiplos

• Aritmética: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • comprender y manipular enteros
  • hacer multiplicaciones y divisiones sencillas con enteros
• Tecnológicos: Los estudiantes deben ser capaces de
  • hacer movimientos básicos con el ratón como apuntar, hacer click y arrastrar.
  • utilizar un navegador para experimentar con las actividades.
• Algebraicos: Los estudiantes deben ser capaces de
  • trabajar con expresiones algebraicas sencillas (incluyendo potencias de enteros)

• Acceso a un navegador
• Lápiz y calculadora
• Copias del material suplementario para estas actividades
  • Taller para colorear múltiplos
  • Taller para colorear residuos
  • Taller para el Triángulo de Pascal

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• Enfoque y repaso

  Revise con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores que sea pertinente para esta y motívelos para que piensen en los términos e ideas de esta lección

  • Geometría de los fractales
  • Fractales y el juego del caos
• Objetivos

  Informe a los estudiantes qué harán y qué aprenderán hoy. Diga algo como esto:

  • Hoy hablaremos sobre patrones numéricos y fractales,  mientras trabajamos con el Triángulo de Pascal
• Aportes del maestro

  Usted puede optar por organizar discusiones breves sobre ¿Qué son Múltiplos?, ¿Qué son residuos?, y/o El triángulo de Pascal.

  Explique a los estudiantes cómo trabajar la tarea. Es preferible que la ejecute para ellos, sobre todo si no están familiarizados con el uso de las aplicaciones para computador (applets)

  • Abra su navegador en Colorear los múltiplos en el Triángulo de Pascal y desarrolle esta actividad ante los estudiantes.
  • Si lo considera conveniente puede entregarles las preguntas de exploración para la actividad de Coloreado de múltiplos
• Práctica guiada

  Haga un ejemplo de coloreado para un número dado, 2 por ejemplo, dejando que los estudiantes le vayan indicando qué hacer. O simplemente, pregúnteles: "¿Puede alguno de ustedes decir cuáles son los pasos para hacer esta tarea?"

  • Si parece que la clase entiende el proceso a seguir, empiece con otro número, digamos 5, y pregunte:"¿¨Puede alguien decirme qué deben hacer a continuación?"
• Práctica independiente
  • Deje que los estudiantes trabajen independientemente para completar la tarea, que usted debe asignarles.
  • Haga que los estudiantes usen la versión para computador de Colorear los residuos en el Triángulo de Pascal para que investiguen los patrones de residuos en el Triángulo de Pascal. Debe entregarles las preguntas de exploración para que las trabajen independientemente.
• Cierre

  Puede optar por reagrupar a los estudiantes para discutir los resultados. Cuando hallan compartido lo que observaron haga un resumen de los resultados de la lección. 

Si hay sólo un computador disponible, puede modificar la lección, así:

• Trabaje con las tres discusiones: ¿Qué son Múltiplos?, ¿Qué son residuos?, y/o El triángulo de Pascal.
• Haga que los estudiantes coloreen a mano copias de la versión para papel del Triángulo de Pascal. 
• Utilice las actividades para computador Colorear los residuos en el Triángulo de Pascal y Colorear los múltiplos en el Triángulo de Pascal en modo demostración, para que los estudiantes confronten las respuestas.Por ejemplo, los estudiantes puede pasar al frente para chequear su coloreado introduciendo los datos de sus hojas al demo del computador.

Al terminar  estas discusiones y actividades los estudiantes habrán visto varios lugares en los cuales aparecen patrones de fractales similares al Triángulo de Sierpinski, presentados en las lecciones Geometría de los fractales y Fractales y el juego del caos. La lección siguiente, Fractales y el juego del caos, es una generalización de fractales vistos en las lecciones Introducción a los fractales: infinito, auto similaridad y recursión, Geometría de los fractales, Fractales y el juego del caos. Se muestra cómo usar los fractales para crear imágenes que parecen fenómenos naturales.