Resolver ecuaciones con la hoja de cálculo

CÓMO UTILIZAR LAS HOJAS DE CÁLCULO PARA RESOLVER ECUACIONES

Por Margaret L. Niess

El Álgebra es el lenguaje por medio del cual se comunica la mayoría de las matemáticas... El Álgebra como medio de representación se evidencia mejor al trasladar relaciones cuantitativas a ecuaciones o gráficas... La tecnología permite a los colegios proveer un conjunto rico de experiencias algebraicas para todos los estudiantes (Nacional Council of Teachers of Mathematics; NCTM)

Considere el currículo de álgebra. ¿Cuál es el punto focal? Sí, queremos que los estudiantes desarrollen comprensión conceptual del contenido de la materia, pero cuando se hace énfasis en la repetición y las reglas, el foco se desplaza en la mente de los estudiantes del concepto al algoritmo.

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Fijémonos en el problema de ayudar a los estudiantes resolver X, cuya variable se desconoce, en la ecuación 6x + 2 = 3x – 4. Tradicionalmente resolvemos esta ecuación algorítmicamente. Claro que nos esforzamos para que los estudiantes primero entiendan el concepto. El conjunto de problemas, sin embargo, pide a los estudiantes una solución para X, y los maestros a menudo recurren a un cúmulo de “reglas” para guiar a los estudiantes hacia la solución. Desafortunadamente, cuando se usan esas reglas los estudiantes tienden a enfocarse en los algoritmos y no en comprender las soluciones conceptuales; cómo resultado, su pensamiento se limita.

USO DE UNA HOJA DE CÁLCULO
La capacidad para crear gráficas de las Hojas de Cálculo, es una herramienta que puede comprometer conceptualmente a los estudiantes y ayudarles a ver las ecuaciones y sus soluciones de nuevas maneras. Los ejemplos que se usan en este artículo se hicieron utilizando la Hoja de Cálculo de “Claris Works” pero el proceso puede adaptarse fácilmente a cualquier programa de Hoja de Cálculo.

ENCONTRAR x EN 6x + 2 = 3x – 4

• Comience abriendo la Hoja de Cálculo y escribiendo 1 en la celda B3
• Escriba la fórmula siguiente en la celda C3: = B3 + 1
• La fórmula ordena a la Hoja de Cálculo adicionar 1 al valor de la celda B3.
• Copiar esta fórmula desde la celda D3 hasta la celda K3 [1]. El resultado consiste en que el programa adicionará 1 al valor que está en la celda de la izquierda de cada celda entre C3 y K3. Entonces, los valores que se muestran en las celdas se convierten en: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 10.

• Ordene a la Hoja de Cálculo que calcule los valores para estas expresiones: 6x + 2 y 3x – 4, en la celda B4, entre la fórmula siguiente: = 6*B3 + 2

• En la celda B5, entre esta fórmula: = 3*B3 – 4

• Copie las formulas a través de las columnas C a K [1].

Haga una presentación gráfica de los datos [2]. La gráfica resultante muestra:

• La expresión 6x + 2 es mayor que la expresión 3x – 4 para los valores de x entre 1 y 10.
• Las expresiones se mueven hacia un punto de intersección de los valores de x menor a 1. (convergen)
• Las expresiones divergen para valores de x mayor que 1.

La intersección claramente es menor a 1, pero la Hoja de Cálculo está programada para comenzar en 1. Para ajustarla, simplemente cambie el valor inicial de la celda B3. Ingrese – 5 a la celda B3, observe que los valores y la gráfica inmediatamente se actualizan.

Ahora tanto los valores de la gráfica como de la Hoja de Cálculo muestran que cuando x toma el valor – 2 , las expresiones son iguales.

SOLUCIÓN PARA x EN 3x – 4 = 14 – 2x

• Al igual que en el problema anterior, abra la Hoja de Cálculo y escriba 1 en la celda B22
• Coloque la fórmula siguiente en la celda C22: = B22 + 1
• Copie ésta fórmula desde la celda D22 hasta la K22 [1].
• Ordene a la Hoja de Cálculo que calcule los valores para cada una de las siguientes expresiones: = 3*B22 – 4 en B23 y = 14 – 2*B22 en B24.
• Copie éstas fórmulas desde las celdas B23 y B24 hasta K23 y K24 [1]

Haga una gráfica con la información [2]. La gráfica resultante muestra:

• La expresión 3x – 4 es mayor que la expresión 14 – 2x para los valores de x desde un poco más de 3 hasta 10. Los datos en la Hoja de Cálculo muestran también esa información.
• La expresión 3x – 4 es menor que la expresión 14 – 2x para valores de 3 y menores
• El problema es encontrar el punto exacto en el que estas dos expresiones son iguales.

El punto de intersección está entre 3 y 4.
Para que el incremento sea menor, modifique la fórmula en la celda C22 para adicionar .5 en lugar de 1.
Introduzca = B22 + .5 en la celda C22.

La gráfica se modifica inmediatamente, pero las dos líneas ya no son rectas. ¿Por qué no lo son?

El cambio en la fórmula en C22 se debe copiar en las celdas D22 hasta la K22. Una vez se ha hecho, las líneas se enderezarán. ¿Pero es obvio el punto de intersección?

No, se ubica en algún lugar entre x = 3.5 y x = 4.0
Cambie la información en la fila 22 para hacer que x comience en 3 y que el incremento sea .1
Ingrese 3 en la celda B22
La nueva fórmula en la celda C22 será: = B22 + .1
Está fórmula debe copiarse desde las celdas D22 hasta las K22 [1].

Ahora está claro. La expresión 3x – 4 iguala a la expresión 14 – 2x cuando x = 3.6
Tanto la gráfica como los datos de la Hoja de Cálculo demuestran este hecho.
Utilizando este proceso de cercar el punto de intersección con rangos cada vez menores, alienta los estudiantes a estimar la intersección que arrojan los datos y la representación gráfica.
Más ejemplos mejorarán la habilidad de los estudiantes de trabajar fórmulas en Hojas de Cálculo. Considere estas:

2(7 – 4x) = 6x – 7 y 4(x + 3) – 6 = 24

En este ejemplo, la fórmula para la celda B47 requiere paréntesis [3]:

= 2*(7 – 4* B46)

En el ejemplo siguiente, la expresión 4(x + 3) – 6 es igual a 24. Este valor se debe ingresar en las celdas B66 hasta la K66. La gráfica de esta constante se convierte en una línea horizontal.
Ahora la tarea es encontrar donde se interseca esa línea horizontal con la línea de 4(x + 3) – 6

UNA EXTENSIÓN NATURAL: DESIGUALDADES
La solución algebraica de las desigualdades siempre presenta dificultades para los estudiantes debido a que confían en métodos mecánicos. La principal preocupación de ellos es “¿Cuándo cambio el signo?”. El acercamiento gráfico ofrece claves visuales claras para solucionar desigualdades.

Considere por ejemplo esta pregunta:

¿Para qué valores de x es 9x – 2 menor que x + 3(x + 5)?

Utilizando el mismo método que se usó para las desigualdades, los estudiantes simplemente cambian la pregunta de encontrar dónde son iguales las expresiones a encontrar dónde una es menor que la otra. Las gráficas son bastante claras.

Para valores de x < 6.6, 9x – 2 es menor que x + 3(x + 5). Acá la línea para 9x – 2 es más baja que la línea para x + 3(x + 5). Utilizando la barra de herramientas, los estudiantes pueden dibujar una flecha que muestre esta solución.

Como se dijo en el “Currículo y Evaluación de Estándares para Matemáticas Escolares” (1989) del Consejo Nacional de Profesores de Matemática (NCTM, por su sigla en Inglés) [4], se debe prestar mayor atención a (1) desarrollar la comprensión de variables, expresiones y ecuaciones; (2) utilizar diversos métodos para resolver ecuaciones y sin seguir reglas estrictas investigar desigualdades; y (3) usar estimaciones para resolver problemas y, en general, prestar menos atención a la manipulación de símbolos, la memorización de procedimientos, y los ejercicios mecánicos en la solución de ecuaciones.

Utilizar las Hojas de Cálculo ofrece un mecanismo para realizar estos cambios de la forma en que los estudiantes resuelven igualdades y desigualdades. A medida que los cálculos hechos con lápiz y papel se vuelven menos importantes, la comprensión y habilidades apoyadas por la utilización de las Hojas de Cálculo para resolver igualdades y desigualdades, ofrece a los estudiantes métodos que favorecen la comprensión de los conceptos. Los procedimientos mecánicos no lo hacen. Con éste método, los estudiantes relacionan la idea de las variaciones de X a lo largo de su trabajo con el descubrimiento de diferentes valores para las expresiones y pueden observar gráficamente los resultados numéricos.

NOTAS DEL EDITOR:
[1] En Excel se puede copiar una formula en varias celdas contiguas de tres maneras: A) escríbala manualmente en cada una de las celdas deseadas (puede ser muy demorado cuando las formulas son muchas y compleja). B) Ubíquese en la celda que desea copiar y seleccione la opción “Copiar” en el Menú “Edición”. Luego ubíquese en la celda donde desea copiar el contenido y seleccione la opción “Pegar” en el Menú “Edición”. (puede ser demorado). C) Para copiar el contenido de una celda a otras celdas contiguas (vertical u horizontalmente), basta con ubicarse en la celda que desea copiar arrastrar y ubique el cursor sobre la esquina inferior izquierda del recuadro que marca la celda. En este momento debe convertirse la cruz del cursor de ancha a una delgada. Presione el botón izquierdo del mouse y manténgalo presionado mientras se desplaza (vertical u horizontalmente) por las celdas en las cuales desea copiar el contenido de la celda original. Luego suelte el botón del mouse y el contenido debe aparecer sobre las celdas seleccionadas (es la mejor opción cuando las celdas están contiguas).

[2] Los datos de una tabla o parte de ellos pueden presentarse gráficamente en Excel. En este caso seleccione el grupo de celdas desde A3 hasta K5. hay dos posibilidades para iniciar la construcción de un grafico: A) elegir la opción “Gráfico” en el Menú Insertar, de la barra de menús. B) haga clic sobre el botón “Asistente para gráficos” que se encuentra en la barra estándar. Seleccione el “Tipo de Grafico” (Líneas) en la ventana izquierda. En “Subtipo de Grafico” seleccione la opción “Línea con marcadores en cada valor de datos”. Presione el botón “Siguiente” tres veces. Presione el botón “Finalizar”.
Puede descargar un archivo de Excel que contiene todos los ejemplos de este artículo: http://www.eduteka.org/pdfdir/HojaCalculo1.php

[3] El uso de paréntesis en una formula de Excel sirve para controlar el orden en el cual deben ejecutarse las operaciones. Las Hojas de Cálculo realizan las operaciones de izquierda a derecha, pero resuelven primero las expresiones entre paréntesis. Para multiplicar 8 por el resultado de la suma de 2 y 4, tendremos que escribir la formula así: =8*(2+4). De esta manera, el programa realizará la suma y multiplicará la cifra obtenida por 8 dando como resultado 48. Escribir la formula sin paréntesis da resultados diferentes: =8*2+4 daría 20 y =2+4*8 daría 34.
El orden de Excel para realizar operaciones es el siguiente: 1) Dos puntos (:), Coma (,), Negación como valor negativo (-), Porcentaje (%), Exponente (^), Multiplicación y División (* y /), Suma y Resta (+ y -), Uniones de elementos de texto (&), Signos de comparación (=< > <= >= <>).

[4] La misión del NCTM consiste en proveer la visión y el liderazgo necesarios para asegurar una educación matemática de calidad para todos los estudiantes. Esta es la más grande organización de educación matemática del mundo. Creada en 1920, tiene en la actualidad más de 100.000 miembros y 250 afiliados en estados Unidos y Canadá. http://my.nctm.org/store/ECat/product.asp?ID=536

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CRÉDITOS:
Traducción al español realizada por EDUTEKA del artículo original “Using Computer Spreadsheets to Solve Equations” escrito por Margaret L. Nies y publicado en el Número 3 del Volumen 26 de la revista Learning & Leading with Technology (http://www.iste.org).

Publicación de este documento en EDUTEKA: Septiembre 20 de 2003.
Última modificación de este documento: Septiembre 20 de 2003.