Consigna de tarea: Problemas aplicados de funciones cuadráticas

a) Contexto motivador

Imagina que eres un ingeniero que necesita diseñar estructuras, o un agricultor que quiere optimizar el uso de su terreno para sembrar. Las funciones cuadráticas son herramientas matemáticas poderosas que nos ayudan a modelar y resolver situaciones reales como estas. En esta tarea, aprenderás a identificar, analizar y resolver problemas usando funciones cuadráticas, entendiendo cómo su forma algebraica se relaciona con su gráfica y sus propiedades más importantes, como el vértice y las raíces.

b) Objetivo de la tarea

Tu objetivo es comprender y aplicar la forma estándar y la factorización de funciones cuadráticas para analizar situaciones reales, construir sus gráficas y resolver problemas prácticos utilizando estos conceptos.

c) Instrucciones paso a paso

1. Lee cada problema con atención. Identifica qué información te dan y qué te piden encontrar.
2. Formula la función cuadrática que representa la situación, usando la forma estándar f(x) = ax² + bx + c.
3. Factoriza la función cuadrática para encontrar sus raíces (los valores de x donde f(x) = 0), o usa la fórmula general si la factorización no es evidente.
4. Determina el vértice de la parábola usando la fórmula V = (-b/2a, f(-b/2a)). Este punto te ayuda a conocer el máximo o mínimo de la función.
5. Construye la gráfica de la función en un plano cartesiano, marcando claramente las raíces, el vértice y la dirección de la parábola (hacia arriba o hacia abajo según el signo de a).
6. Responde las preguntas de cada problema aplicando los resultados que obtuviste.
7. Revisa que todos los pasos estén claros y completos.

d) Entregable esperado

Debes entregar un documento escrito (puede ser a mano o digital) con los siguientes elementos para cada problema:

• El enunciado original del problema (copiado o resumido).
• La función cuadrática formulada en forma estándar.
• El proceso de factorización o aplicación de la fórmula general para encontrar las raíces.
• Cálculo y ubicación del vértice.
• Gráfica de la función, dibujada en plano cartesiano con raíces y vértice señalados.
• Respuestas claras a las preguntas planteadas, vinculando los resultados con el contexto real.
• Presentación ordenada, con cálculos explicados y dibujos legibles.

e) Fecha de entrega y tiempo estimado

Fecha de entrega: Tres semanas a partir de hoy, al finalizar la sexta hora de clase (dos horas por semana).

Tiempo estimado para completar la tarea: 6 horas en total, distribuidas en sesiones de clase y trabajo en casa.

f) Criterios de evaluación

Problemas aplicados para resolver

Problema 1: Lanzamiento de una pelota

Una pelota es lanzada hacia arriba y su altura (en metros) en función del tiempo t (en segundos) está dada por h(t) = -5t² + 20t + 1.

• ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar la altura máxima?
• ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
• ¿En qué momentos la pelota está a 6 metros de altura?
• Grafica la función y señala el vértice y las raíces.

Problema 2: Diseño de un jardín rectangular

Quieres construir un jardín rectangular en un terreno, donde la longitud es 2 metros más que el doble del ancho. El área del jardín está dada por la función A(x) = 2x² + 2x, donde x es el ancho en metros.

• ¿Cuál es el ancho y la longitud del jardín si quieres que el área sea máxima?
• ¿Cuál es el área máxima que puedes obtener?
• Construye la gráfica de la función área y marca el vértice.

Problema 3: Beneficio en venta de entradas

Una empresa vende entradas para un concierto. El beneficio (en miles de pesos) depende del precio de cada entrada y está representado por B(p) = -3p² + 72p - 200, donde p es el precio en miles de pesos.

• ¿A qué precio se maximiza el beneficio?
• ¿Cuál es el beneficio máximo?
• ¿Para qué precios el beneficio es cero?
• Realiza la gráfica y señala los puntos importantes.

¡Recuerda que cada problema te ayuda a entender mejor cómo las funciones cuadráticas modelan situaciones reales y cómo puedes usar matemáticas para tomar decisiones acertadas!