La aritmética del reloj y criptografía

Las discusiones y actividades de esta lección permitirán a los estudiantes poner en práctica sus habilidades aritméticas, en el aprendizaje de  la aritmética del reloj (aritmética modular) y criptografía. Aun cuando un poco lenta ( dos horas aproximadamente) esta lección se puede dividir fácilmente en dos.

Al completar esta lección los estudiantes;

• Serán capaces de hacer operaciones en aritmética modular (del reloj)
• Serán capaces de codificar y decodificar mensajes utilizando cifrado afín y cifrado por desplazamiento.
• Habrán puesto en práctica sus habilidades con las cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división.

Grados 6-8

• Números y operaciones
  • Calcular con rapidez y hacer estimaciones razonables.

Grados 9-12

• Números y operaciones
  • Calcular con rapidez y hacer estimaciones razonables.
  • Comprender los números y las formas de representarlos, relaciones entre números, y sistemas de numeración.

• Aritméticos: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Hacer aritmética con enteros y racionales incluyendo inversos multiplicativos.
• Algebraicos: Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Trabajar con expresiones algebraicas sencillas.
• Tecnológicos:  Los estudiantes deben ser capaces de:
  • Hacer movimientos básicos con el ratón, como apuntar, hacer click y arrastrar.
  • Utilizar un navegador para experimentar con las actividades.

• Acceso a un navegador
• Lápiz y papel

Copias de material suplementario para las actividades​:

• Aritmética del reloj. Preguntas de exploración.
• Cifrado César. Preguntas de exploración.
• Cifrado César. Preguntas de exploración II
• Cifrado César Preguntas de exploración III

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1. Enfoque y repaso 
Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores que sea relevante para esta lección y llévelos a pensar sobre las palabras e ideas de esta clase:

• Pregunte a los estudiantes qué son múltiplos. Si es necesario, utilice la discusión sobre múltiplos.
• A continuación, pregúnteles qué son residuos. Como ayuda puede usar la  discusión sobre residuos. 

2. Objetivos ​Indique a los estudiantes lo que harán y aprenderán hoy. Diga algo como esto:

• ​La clase de hoy es sobre aritmética del reloj,  también llamada aritmética modular, y criptografía,  que es un método para crear mensajes secretos. El conocimiento sobre múltiplos y residuos que ya ustedes tienen será de utilidad para codificar y decodificar mensajes.
• Utilizaremos computadores en el aprendizaje de aritmética modular, y criptografía, pero no los prendan ni vayan a esta página sino cuando yo se los indique. Primero quiero mostrarles algunas cosas sobre el tema.

3. Aportes del maestro  Guíe a los estudiantes ​​en una corta discusión sobre Relojes y aritmética modular.

Demuestre ante los estudiantes cómo hacer la tarea, sobre todo si ellos no están familiarizados con  el uso de nuestras aplicaciones para ser trabajadas con computador.

• ​Abra su navegador en la actividad Aritmética del reloj, para enseñársela a los estudiantes.
• Muestre a los estudiantes cómo cambiar la hora en el reloj.
• Trabaje la hoja de cálculo con las Preguntas de Exploración sobre la aritmética del reloj 
• Haga que los estudiantes completen la hoja de cálculo con su ayuda, mientras les demuestra cómo opera la aritmética modular.
  
  A continuación presente a los estudiantes la nocion de criptografía a través de una discusión sobre Relojes y aritmética modular.
  .
• Abra su navegador en la actividad El cifrado de César y demuéstrela ante los estudiantes.
• Intente codificar una frase con los estudiantes, tal como "Otra vez en la lucha" y compruebe el resultado usando la actividad El cifrado César.
• Entrégueles la hoja de trabajo  Cifrado César Preguntas de Exploración
• Dé a los estudiantes otra frase para codificar. Algunos ejemplos: "Si no arriesgo, no gano", "vamos por la de oro", "llévame a fútbol".
• Haga que los estudiantes intercambien sus códigos y sus valores para A y B con otro estudiante de la clase para que se ejerciten en resolverlos.

4. Práctica guiada

Disponga una práctica adicional para sus estudiantes, esta vez con la actividad El cifrado de César II Es una excelente manera de ejercitar sus habilidades de razonamiento dado que hay formas ingenuas, sencillas de jugar (con frases) y formas sistemáticas de hacerlo (mediante unas pocas letras).

• Entrégueles la hoja de trabajo Cifrado César II Preguntas de exploración y trabaje con ellos para encontrar el código.

5. Práctica independiente

Como actividad final, haga que los estudiantes compitan por equipos utilizando la actividad El Cifrado César III. Dígales que todas las frases son tomadas de canciones de cuna. Gana el equipo que primero decodifique la frase y encuentre el multiplicador y la constante correctamente.

• Entrégueles la hoja de trabajo Cifrado César III Preguntas de exploración y divida la clase en grupos para que trabajen en los códigos.

6. Cierre

• Puede ser conveniente volver a reunir a los estudiantes para una sesión de recapitulación.

Esta lección puede reorganizarse si sólo hay un computador disponible:

• Después de presentar la información contenida en las discusiones, haga que los estudiantes trabajen por turnos, en grupos o individualmente, para que practiquen en el descifrado de códigos.

Patrones en los fractales