El Peine de Cantor es una manera de visualizar el famoso conjunto de Cantor. George Cantor estaba interesado en este conjunto porque es infinito y completamente disconexo (todos sus puntos están separados entre sí), aun cuando se construye mediante segmentos de recta. En términos fractales nos referimos a estos conjuntos no conexos como las "basuras fractales"
Instrucciones: Dibuje varias iteraciones del Peine de Cantor (removiendo el tercio del medio cada vez) y completando la siguiente tabla:
El Peine de Cantor de los Tercios Medios
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Iteración |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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Longitud de un segmento de recta |
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Longitud Total |
Responda las siguientes preguntas:
- ¿Cuál será la longitud total del segmento de recta en la N-sima iteración? Observe los patrones que forman los números antes y después de simplificar.
- ¿Cuál será la longitud total en la N-sima iteración?
- ¿Cómo cree que será la forma del Peine de Cantor? En otras palabras, ¿qué espera que suceda si se repite esto en un número infinito de veces?
- ¿Cuál es la longitud del Peine de Cantor?
Ensaye ahora otras fracciones: ensaye a remover ½ de la mitad y ¼ de la mitad, completando las siguientes tablas:
El Peine de Cantor de la Mitad de los Medios
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Iteración |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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Longitud de un segmento de recta |
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Longitud Total |
El Peine de Cantor de Cuartos Medios
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Iteración |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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Longitud de un segmento de recta |
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Longitud Total |
Compare los resultados de estos ejercicios. Ensaye algunas fracciones de su elección y haga un listado de sus conclusiones. Por ejemplo, ¿puede usted construir una fórmula para la longitud total en la n-sima iteración, que funcione para cualquier fracción que sea de la forma 1/X?